关键词：初中数学，数学建模教学
在新课标的要求下，数学课堂的主要任务是围绕教学内容，选取典型素材激发学生兴趣，以“润物细无声”的形式渗透数学建模思想，提高学生的建模能力。通过对教学实践的研究发现，采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的教学模式，可以帮助学生理解知识的发生、形成过程与应用。使学生在朴素的问题情境中，通过观察、操作、思考、交流和运用，掌握重要的数学观念和思想方法，逐步形成良好的数学思维习惯，强化数学的应用意识。这种教学模式要求教师从建模的角度来分析和处理教学内容，把数学知识的学习和应用结合起来，使之符合“具体——抽象——具体”的认识规律。
（1）初中数学建模教学的目标
初中数学建模教学的目标是根据数学学科的特点和数学课程标准提出的，主要有以下几点：
①培养学生的数学应用意识和观念
当遇到实际问题时学生能利用已有知识，从数学的角度审视问题、分析问题和解决问题。
②培养学生用数学的能力
在解决实际问题的过程中，培养学生从问题中抽象出数学问题的能力，建构数学模型的能力，对数学模型进行化归的能力，对数学结果进行评价和推广的能力。
③培养学生树立正确的数学观
通过数学建模教学使学生认识到数学不仅是人们认识世界的工具而且还是一门艺术。数学中充满着创新精神，具有重要的文化价值。
④激发学生学习数学的兴趣
数学建模教学，从数学应用的角度处理教学内容，培养学生自主学习的探索性和创新性，这种新型的授课方式克服了传统教学中内容枯燥、方法呆板的缺点，极大地提高学生的数学学习兴趣。
⑤培养学生树立数学学习的自信心
传统的数学教学过分强调数学知识的抽象性和严谨性，这样使得学生普遍感到数学难懂难学，对数学学习产生畏惧感。数学建模教学，注重用学生容易理解和接受的方式传授数学，注重学生的动手操作和实践活动，这些对增强学生学好数学的信心有着独特的作用。
（2）数学建模教学的五个环节
① 创设问题情景，激发求知欲
在教学内容的指导下，从学生原有的生活经验和知识背景出发，安排适当的实际应用题，让学生带着问题进行学习，为进一步学习做好情感上的准备，同时教师
根据实际情况给学生提供进行数学活动交流的机会。
② 建立数学模型，导入学习课题
关键词领悟；联结；心理咨询
分类号R395
1引言
带着生活中难以消解的困扰，当事人进入心理咨询室，他们最想从这里得到什么?一个解决问题的“金点子”，一次智者的“开释”，一趟自我发现和成长之旅……答案可能五花八门。对于大多数人来说，他们特别关心的问题是“我为什么会这样”，“我怎么才能不这样”，如果把对这些问题的理解称为“领悟”(insight)，那么在所有答案中，领悟可能是分量很重的一个。
在心理咨询的理论沿革中，从弗洛伊德的理论奠基到现代的跨理论咨询模式，领悟都一再被赋予重要的地位。精神分析是领悟导向的，领悟被视为超越症状缓解的更高级的咨询目标(Frank，1993)；Hill(2009)的跨理论三阶段咨询过程模型将领悟作为关键而核心的第二阶段；在咨询理论百花齐放的一个世纪以来，领悟在不同的理论中被反复涉及。体验疗法、认知一行为疗法、家庭疗法等都逐渐认可和接纳了领悟在治疗中的作用。可见，对不同的理论取向而言，领悟都是一个治疗过程中的重要内容。
除了理论家和治疗家的观点之外，实证研究也证实了领悟对当事人的重要意义。对咨询会谈中重要事件的研究一再表明，当事人认为领悟是会谈中相当重要的事件(，James，Reimschuessel，Cislo，&Sack，1985；Mahrer&Nadler，1986)。
既然领悟在咨询中这么重要，它究竟是什么?
2理论界定
主流理论取向的观点
不同流派对领悟的看法并不完全相同。在《Insight in Psychotherapy》(Castonguay&Hill，2007)一书中，主流的心理治疗取向对各自所认为的领悟进行了界定和诠释，概括如下。
心理动力学是领悟概念最早出现也最为重视的取向，追求领悟被认为是其标志性的特征。(1)弗洛伊德的著作中很少直接提及领悟一词，但是其理论构想和实践中贯穿着领悟。在他那里，领悟是对潜意识动机和防御机制的发掘，对不堪的真相的寻找，对创伤性经历与当前心理痛苦关系的了解。(2)在自我心理学中，领悟包括两种涵义，一种是指内观的过程及其发现，一种是承认自己的问题，而这种承认预示着治疗的成功。领悟既可以是治疗的手段也可以是最终目标，当其作为目标时，是将以前无意识的趋力、愿望、幻想、冲突和其他非理性的斗争整合到现实自我中。这两种理论都把领悟看作心理改变的原因。(3)在关系理论中，领悟被视为心理改变的结果，改变发生的证据，它是在安全的治疗关系中努力澄清当事人的困扰后所产生的结果，当领悟发生时。治疗双方会察觉自己在咨访互动中表现着当事人生活中的主题。(4)心理动力学中测量领悟的工具，如RPPS(The Rutgers Psychotherapy Progress Scale).对领悟的操作性定义是：当事人对自己在治疗中提出的问题的新理解的发展。领悟的内容包括：a.对模式或联结的识别.b.观察自己的内部加工、人格或心理病理的能力；c.对病态信念的修正；d.对自我动机的识别；e.对他人动机的识别。(Messer&McWilliams，2007)总体来看，在心理动力取向中，领悟是无意识的冲突、趋力、愿望、动机等的意识化，它既是治疗的手段也是治疗的目标，既可以是心理改变的原因也可能是改变的结果。
在体验疗法中(包括当事人中心、格式塔、过程.体验和某些存在疗法)，领悟通常被等同为觉察(awareness)和元觉察(meta-awareness)。觉察是指明确地关注当下体验的某一方面，而元觉察是对感知事物、信息加工或建构个人体验的方式的特殊的觉察。(1)当事人中心疗法中，罗杰斯把领悟描述为“当事人达到的一种体验”，以联结和接纳的方式，是一种感觉到的，而不是理智上的体验。在罗杰斯那里，领悟似乎可以和“觉察”、“感觉到的体验”、“符号化”等互换。(2)强调体感聚焦(focusing)的体验治疗，把领悟视为在当下的觉察过程中解释和创造新涵义的产物。(3)存在疗法中的领悟是存在性的领悟，通常是在面对终极关怀(死亡、孤独、无意义和自由)时获得的觉察，是以情感为基础的对生命和生活的看法。(4)格式塔疗法也认为领悟就是觉察和元觉察，是发现一个人的体验和行为，以及行为的方式。(Pascual－Leone&Greenberg，2007)可以看出，体验疗法十分强调领悟中的体验成分，领悟是内隐体验的外显化，是内隐体验方式的意识化，领悟发生时必定伴有体验。
与前两种取向相比，认知一行为疗法最初对领悟重要性的强调最弱，但随着实践中领悟不断的不经意出现，以及对治疗产生的促进作用，逐渐引起了理论家的重视；与此同时，实证研究的结论也加速了该流派对领悟的接纳。(1)Ellis在其理情行为治疗中区分了理性领悟(intellectual insight)和情绪性领悟(emotional insight)，认为后者造成的信念和行为改变的强度要超过前者。(2)在其他的认知一行为疗法中，领悟的涵义与认知改变、认知重构、理性重构、认知调整、理性再评价、发现非理性等近似。Beck认为，认知改变过程由对自己想法的觉察、识别不准确的想法和用更准确的想法替换组成，领悟则包含在识别非理性的自动化想法和觉察替代性的认知中。Meiehenbaum认为认知重构是行为改变的关键，它既是改变的手段也是改变的目的，认知重构反映着图示的改变，图示改变与单纯的理性领悟不同，它包含着心理机能的多重维度。(3)从图示理论的观点来看，领悟是自我和他人图示的改变，在此过程中，个体有意识地觉察到两个或多个图示的联结，而该联结是之前不存在或以特殊方式联结在一起的。图示作为在长时记忆中储存的心理表征，其表征水平与储存位置在外显或内隐的记忆系统有关，理性领悟是在外显水平上建立图示间新的联结，而情绪性领悟则需整合外显和内隐的表征(Holtforth，Castonguay，Boswell，Wilson，Kakouros，&Borkovec，2007)。综上所述，认知，行为疗法重视领悟中的认知成分，同时也强调认知改变时所伴随的情绪体验，它在心理表征的层
面上进一步阐明领悟的实质。
其他对领悟的界定通常包括联结的建立，获得新理解的事件，或获得新理解的趋势等(Gibbons，Crits-Christoph，Barber，&Schamberger，2007)。Hill，Castonguay，Angus，Arnkoff，Barber和Bohart(20071在与30位不同取向的治疗专家讨论后，对领悟的概念得出了较为一致的意见：领悟是包含新联结的有意识的意义转变(即“这个与那个相联系”或某些因果的感觉)。
主流理论取向观点之比较
为了更清晰地了解不同流派对领悟理解的异同，以下从领悟的类似概念、领悟的内容和领悟的方式三个方面进行梳理，对主流理论取向的理解进行比较，见表1。
从概念上来看，心理动力学把领悟看作联结的形成，过去与现在、无意识与意识、内在冲突与外在表现、依恋关系与移情，等等，当两两间内在的联系得以贯通时，领悟就发生了；体验疗法把领悟等同于觉察和元觉察，当内隐的体验外显时，领悟便发生了，也可视为打通了通往内在体验的道路，在体验与觉知间建立了联结；认知，行为疗法认为领悟是认知重构或图示改变，而图示改变的涵义即为在图示间建立新的联结。由此看来，三种取向对领悟概念的理解在本质上是一致的，都是一种新联结的建立，只是对联结的内容、联结形成的方式等的看法有所不同。这一分析也与前述Hill等的讨论结果一致，可以认为，新联结的建立是领悟的实质。
在领悟的内容上，体验疗法关注的是情绪情感，认知一行为疗法关注的是认知(信念、图示)，而心理动力学关注的是揉和了情绪情感和认知的心理内容(冲突、趋力、愿望等)。三种取向对心理成分的关注迥异，源于各取向的理论差异――对心理病理学的不同看法、对心理治疗作用机制的不同观点，对心理治疗过程的不同构想。不同理论对心理机能的侧重不同，直接导致了在治疗中要领悟的内容的差异。不同取向从不同的心理机能出发探寻领悟，最终使当事人对自己有所理解，恰如盲人摸象，从每个部位出发，都可以对摸索对象进行分析和设想，也许可以构建出真实的对象，但更准确的构建可能是从不同方向都进行摸索。尽管领悟的内容不同，但领悟的目标对各取向是一致的，都是为了使当事人获得对自己更多的了解，可能是自己的非理性信念，可能是被压抑的情感，也可能是内心的矛盾冲突。
为了帮助当事人达到预期的领悟，不同取向会采取有针对性的不同方式。心理动力治疗师像侦探，搜集各种心理碎片作为线索，曾经的经历、现在的表现，内在的反映、外界的回馈，过去的重要关系、现在的咨询关系，等等，将它们拼接起来组成一幅完整的心理图景。在搜集了足够多的证据之后，治疗师通常会向当事人做解释，而当事人需要进行认知加工，对治疗师推理的合理性做出判断，决定接纳与否。体验疗法的治疗师是感受导向的，为了帮助当事人获得觉察和元觉察，会聚焦于当事人的体验，帮助当事人触碰感受，了解感受的内容和意义，当事人用情绪加工来完成这一过程。认知一行为治疗师的职责在于发现当事人的不合理信念或图示，在当事人的讲述中，不断地找到一个又一个非理性信念，并及时向当事人指出，当事人需要进行认知加工，对此有所理解，而在理智上理解的同时如果伴有情绪上的唤起，将是最理想的情绪性领悟。
总体来看，三种主流取向对领悟实质的认识是一致的，都是一种新联结的建立，而领悟的目标也都是为了当事人获得对自己更多的理解，只是在领悟的内容上，由于理论对不同心理机能的侧重，造成了相应的差异，由此也导致了领悟方式上的区别。
3领悟的分类
以上对不同理论取向观点的比较，有助于析取共同点，从而把握领悟内涵的实质；而要充实丰富对领悟的理解，更深入透彻地考察这一概念，则有必要对领悟进行分类。理论上对领悟分类的问题探讨地比较少，有的理论取向曾提出过领悟的不同类型，但没有十分深入地探讨；有研究者试图对不同理论取向对领悟的理解进行分类，并提出了分类模型，这是一个很好的开始，但才刚刚起步。有必要进一步研究。
理性领悟和情绪性领悟
心理动力学早先并没有对领悟进行分类，直到自我心理学家James Strachey提出“突变解释”(mutative interpretation)的概念，这一概念强调整合了情感和认知的解释，要大大优于只有认知的解释。在此之后，大多数心理动力学家就区分了理性领悟和情绪性领悟(引自Messer& McWilliams，2007)。Albert Ellis最早在理一情行为治疗中将领悟区分为理性领悟和情绪性领悟。两种领悟中当事人都能认识到错误的信念、自损的行为，也都会体验到改变信念和行为的愿望。但是，两种领悟在影响的强度上存在差别，在影响行为类型的数量上、趋力的强度上、影响的效力和承诺上，情绪性领悟都要优于理性领悟(Ellis，1963)。值得注意的是，心理动力学和理一情行为治疗所说的情绪性领悟，尽管使用的是同一个术语，但二者的内涵却并不一样，心理动力学所认为的情绪性领悟是“伴随着理解的宣泄过程”(Singer，1970；Gelso。Kivlighan，Wine，Jones，&Friedman，1997)，而理一情行为治疗认为的情绪性领悟是“伴随着理性领悟的确信感”(Ellis，2001)。所以，心理动力学的情绪性领悟其实是“理解+情感宣泄”，认知和情感都是与个人有关的，具有个人意义；而理，情行为治疗的情绪性领悟是“理解+对理解的确信感”，认知与个人有关，而情感是与认知的过程和结果有关，并不具有个人意义。
笔者认为，如果从对领悟分类的角度来看，心理动力学的理解更为合理。在临床咨询中，可能出现纯认知的领悟，当事人在认识上有所理解，而没有情感宣泄；也有可能伴随着重大理解，出现情感宣泄，所以，情感宣泄的有无可以成为区分两种领悟的一个标准。而Ellis的观点可能意在区分对理解确信程度不同的领悟的不同后效，这一看法有道理，但以对理解的确信感的有无来区分两种领悟，却并不是一个有力的依据。因为，当事人在获得一个新理解的同时，会或多或少地伴随着对这一理解的确信感，它不是一个有无的二维区分，而是一个连续的维度。所以，在理性领悟时也许并非完全没有对理解的确信感，只是确信程度比情绪性领悟低而已。因此，这样来区分理性领悟和情绪性领悟并不妥当。
Paseual－Leone和Greenberg的领悟模型
Pascual-Leone和Greenberg(2007)从体验疗法对领悟的理解出发，提出了一个旨在统合不同理论取向对领悟理解的模型(如图1)。该模型提出了领悟的两个维度，抽象水平和加工类型，认为不同取向所认为的领悟是在这两个维度上存在
区别。“抽象”是指提取跨情境的具体的稳定因素并内化的过程，跨越时间和空间，因此，抽象水平越高，归纳的范围越宽，抽象的来源越广。“加工类型”是指情感和认知加工的相对分量，因此，加工一种体验既可以采用对知觉和情绪即时化的方式，也可以通过概念和理性思考的方式。
该模型认为主流取向中的领悟可以分为四种，根据它们在两个维度上的不同位置，各自具有一些典型特征：(1)大多数体验疗法中的领悟主要是觉察，抽象水平最低，聚焦于此时此地，加工方式是知觉。情绪(如“我现在感到对父亲很愤怒”)；(2)存在疗法和某些体验疗法中的领悟主要是体验性的元觉察，抽象水平比觉察高，加工方式既有知觉－情绪，也有概念－理性，但以知觉－情绪为主(如“我现在有种把整个世界都看作我的对立面的感觉”)；(3)认知一行为疗法中的领悟主要是理性的元觉察，抽象水平比体验，存在性领悟更高，加工方式既有知觉一情绪，也有概念，理性，但以概念一理性为主(如“我现在意识到我是害怕失败所以不愿意尝试”)；(4)心理动力学中的领悟主要是概念联结，抽象水平最高，跨越时间和空间，加工方式是概念一理性(如“现在我明白，从小就缺乏的安全感，使我一直不敢亲近任何人”)。这四类领悟，抽象水平依次递增，离体验的距离也逐渐增加，一起共同构成了完整的领悟概念。
这个模型归纳了主流理论取向中领悟的形式，有助于更清晰地认识不同取向对领悟的理解，同时也提出了一个划分不同类型领悟的依据；抽取的两个维度为更深入地理解不同领悟间的差异提供了参考。从对领悟分类的角度来看，该模型还存在一些问题：(1)觉察能否算作领悟，还是导向领悟的一条途径，这一问题尚无定见，除了体验疗法外，其他取向大多不认为觉察也是领悟。(2)不同类型的领悟能否清晰地区辨。如体验性的元觉察和理性的元觉察在实践中可能难以区分，体验多一点还是理性多一点在实际操作中恐怕很难分辨。(3)该模型主要是从领悟的不同形式来对领悟进行分类，对领悟的内容没有太多涉及，可以考虑从内容上对领悟进行更细的区分。
4实证研究中的操作性定义
在对领悟进行研究时，为了对领悟进行识别和测量，不同研究者发展出了对领悟的不同操作性定义，在研究中应用较多的有Hill，Elliott和Mahrer的界定。(1)Hill对当事人在会谈中的行为进行了分类，发展出《当事人行为系统》(Client Behavior System)(Hill，Corbett，Kanitz，Lightsey，&Gomez，1992)，该系统将当事人行为分为8类，领悟是其中一类，将其界定为：当事人表达出对自己的了解，可以明确说出行为、想法或感受的模式或原因。领悟通常包括一个“啊哈”的体验，其中当事人以一种新的方式知觉自己和这个世界；当事人承担适当的责任而不是责怪他人、使用外界强加的“应该”或合理化。(2)Elliott对当事人所认为的会谈中的助益事件(helpful events)进行了一系列研究，得到8种助益事件，领悟是其中一种，对其界定为：当事人描述认识到一些和自己有关的新东西，包括获得认知领悟，看到和自我或人际关系中的自我的一些新的联结(Elliottet al.，1985)。(3)Mahrer研究了会谈中好的时刻(good moments)，一共分为ll类，领悟是其中一类，界定为：当事人表达或陈述一个重要的领悟一理解，有3个特点：a.表达情绪唤起的感受：b.在看待(认识和／或建构)自己和自己的世界的方式上表现出确实的改变；c.对自己的生活和个人／人际行为具有重要含义(Mahrer&Nadler，1986)。
比较这三个定义可以发现，尽管在表达方式上不尽相同，但三者对领悟内涵的理解实质上是一致的，都是“对自己和自己的世界的新觉知”：《当事人行为系统》表达为“当事人以一种新的方式知觉自己和这个世界”，好的时刻表达为“在看待(认识和／或建构)自己和自己的世界的方式上表现出确实的改变”，而助益事件从联结的视角来看，表达为“看到和自我或人际关系中的自我的一些新的联结”。在此理解的基础上，不同界定分别强调了领悟的其他一些特点：如《当事人行为系统》认为领悟时会有“啊哈”的体验，这是强调顿悟的特点；而好的时刻强调领悟时会有情绪唤起，会表达这种感受，而且对个人生活意义重大。有研究者(Anastassios，Kieron，&Miriam Schereg 1996)用实证研究考察了《当事人行为系统》和好的时刻的两种界定在识别会谈中领悟时的异同，结果发现，二者识别出的领悟基本相同，都是当事人有了一种新的清晰看待自己的方式，同时能承担起自己的责任，但好的时刻识别出的更多，另外，《当事人行为系统》是更“认知导向”的，而好的时刻是更“情感导向”的。
5评析
对概念进行准确界定是研究的第一步也是关键的一步，后续测量等一系列研究工作的开展都必须以此为基础。根据以上分析，笔者认为，Hill等(2007)的界定――领悟是包含新联结的有意识的意义转变，基本上概括了领悟的实质，领悟是一种意义转变，这一转变中包含新的联结。但这样界定的领悟更像是一个没有情境限制的领悟概念，而我们在对心理治疗中的领悟进行界定时，首先应该将其置于心理治疗的背景中，因此在界定时还应突出心理治疗中的领悟的特性。心理治疗中领悟的目的是让当事人更加理解自己，可能是认知上的、情绪上的，或者揉和了认知情绪的内心冲突的理解；领悟的实质是在意义系统中建立新的联结，联结可能是过去与现在，非理性信念与当前的困扰，等等；领悟的内容和方式依理论侧重点的不同而有所区别。
依据这些理解，笔者尝试对心理治疗中的领悟给出界定：当事人在治疗师的辅助下采取各种方式，对自己和自己的世界形成新的觉知，表现为在个人意义系统中建立新的联结。这一界定包括几层涵义：(1)获得领悟的方式可能有很多，依据理论取向的不同而不同；(2)领悟的目标是用新的方式理解自己和自己的世界；(3)领悟的实质是在个人意义系统中建立新联结；(4)“建立”新联结表明领悟是在意识层面上的加工。这样的界定是结合了前述理论对领悟实质的理解，和实证研究中对领悟的操作性定义，前半部分有助于指导研究中对领悟的识别，而后半部分是从理论角度出发的理解。但是，这个界定还只是一个理论上的定义，在实证研究中进行操作性定义时，还需要在此基础上更为细化具体。
一、在模型准备中初步感知模型思想
提出问题是数学建模的起点，有了明确问题，学生建模才能有的放矢。模型准备时，教师要根据实际问题的特征和建模目的，呈现贴近学生生活实际的学习素材，尽量做到形象具体，并引导学生对问题情境进行必要简化，有效引导学生从实际背景中抽象出数学问题，甚至对问题作出必要和合理的猜想与假设，使学生能从熟悉的或已具备的生活经验和知识经验入手，为学生顺利构建数学模型奠定基础。
教学时，教师先出示教学挂图，引导学生分析图中的信息。学生很快从图中发现每支钢笔12元，每本练习本3元；要买4支钢笔和5本练习本。根据图中的信息填写表格（表1）后，教师要求学生观察表格中第一列的信息并说出它们的相同点，从而认识单价就是每个物品的价钱。当学生联系生活举例说出一些商品的单价（如包子的单价是每个2元，一瓶绿茶的单价是每瓶3元）时，教师引导学生自主读、写出来（2元/个，读作2元每个，表示每个包子2元；3元/瓶，读作3元每瓶，表示每瓶绿茶3元）；当学生了解表格中第二列信息表示商品数量、第三列信息表示商品总价（购买某种商品一共要用的钱）时，教师引导学生分别算出两种商品各自的总价。学生为解决实际问题而认识单价、数量和总价三种数量，并在解决问题的过程中自然地产生数学问题――这三种量之间有没有什么关系？如果有关系，有什么关系？甚至有些思维活跃的学生就会在大脑中出现这样的猜想或假设――这里的单价和数量相乘后是不是等于总价？这样，学生就能在计算总价的过程中为顺利构建数学模型做好充分准备，同时从中初步感悟数学模型思想。
二、在模型的建立中充分感悟模型思想
模型建立的过程，往往是学生进行观察、分析、抽象和概括的活动过程。在这个过程中，学生会使用文字或者其他数学符号尝试表示数量关系或变化规律。换句话说，小学生的数学建模过程就是尝试把生活情境“数学化”的过程，就是他们在数学学习过程中尝试获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。这个过程可以在教师的适当引领下完成，也可以在学生的自主探究中完成。
研究单价、数量和总价这三种量之间的关系时，教师引导学生先仔细观察表格，再思考两种文具的总价各自是怎样计算的，并尝试用式子表示出来。学生通过想一想、说一说和写一写后，发现每种文具的总价都是用表中的第一个信息与第二个信息相乘的结果，即“总价=单价×数量”，并由此及彼地发现“数量=总价÷单价”和“单价=总价÷数量”，从而明白只要知道三种量中的两种量，就能根据数量关系求出第三个量。探究速度、时间和路程三者之间的关系时，教师先出示一组信息：一列和谐号列车每小时行260千米，李冬骑自行车每分行200米。自主阅读后，学生发现它们分别表示1时或1分（单位时间）内所行的路程，从而认识了速度。学生再联系生活说一些常见的速度例子（如兔子每秒跑6米，小明每秒跑5米）后，学会读写速度（6米/秒，读作6米每秒，表示兔子每秒跑6米；300米/分，读作300米每分，表示小明每分行300米）、计算各自所行的路程，并填写表格（表2），并在小组交流中发现路程都可以用“路程=速度×时间”表示，进而触类旁通地联想到“速度=路程÷时间”和“时间=路程÷速度”这两个数量关系。最后，教师引导学生分组尝试用线段图表示这两题的条件和问题，并讨论线段图的相同点，从中发现图中每段表示一份，3段便是3份，问题都是求总数，从而沟通了两个数量之间的联系，构建统一的数学模型――每份数×份数=总数。
史宁中教授认为：“数学的本质是在认识数量的同时认识数量之间的关系。”事实上，如果我们从建模角度看这两组数量关系，它们都属于“乘法模型”，也就是“每份数×数量=总数”关系的具体化。它们中的第一个数量关系是学生在教师引导下的建构，第二个数量关系是学生的自主建构，扶放结合，最终形成统一的数学模型。学生在经历建模的过程中对数学模型思想的感悟越来越充分。
三、在模型应用中灵活感悟模型思想
对小学生而言，他们进行建模的目的之一就是根据模型解决实际问题，并尝试用结果去解释它在现实问题中的意义，也就是模型应用。所谓模型应用，就是学生建构数学模型后尝试把数学模型还原为具体可感知的数学现实，从而巩固甚至灵活应用所建构的数学模型。但在应用模型解决实际问题的过程中，教师首先要引导学生理解数学模型的含义，并将模型解答与现实问题之间进行对照检验，并根据检验结果对解答进行完善和优化。这对学生灵活感悟模型思想能起到画龙点睛的作用。
【关键词】数学模型;小学数学;模型思想
当今社会发展，使得社会对人才渴求度越来越高，教育部门也意识到需要从小培养学生们思维创新模型，才能适应今后社会的发展。教育事业受到社会和国家共同关注，新课改以后数学作为重要学科，教师们投入巨大心血进行教学研究。通过多年教学经验分析、总结提出，培养小学生数学模型思想，具有现实使用价值。教师们应该根据学生的实际情况出发，对学生学习数学模型思想培养进行引导，使其能够更好地掌握数学模型思想。
1.数学模型和数学模型思想
数学模型是利用有关符号或者数学语言，对某种用详细的语言描述出事物，通过总结特征或者观察数据间关系，然后进行统计和归纳，建立简单明了的数学结构。但是其应用范围比较狭窄，不能用来套用所有数学中的关系，只能反应结构相似部分数学关系。
而数学模型构建，是一种可以解决实际问题数学模型思想，它是通过对数学模型深入研究，并不断抽象、概括的过程。只有真正认识到数学模型的意义，才能用数学模型思想来指导学生进行数学模型思想建设。具有提高教育意义，同时具有增强学生对数学学习兴趣的作用。
2.小学数学教材中重要繁荣数学模型思想的培养
学生表格思维的运用
培养学生归纳总结的能力很重要，学生上学的最终目的不是学习知识，学会学习方法才是教学重点。将与他们生活中随处可见事物进行举例，将抽象的理论知识进行具体化分析，帮助学生深入理解知识点。
例如： 有甲乙两杯果汁，甲杯中的果汁倒20ml到乙杯中，这时甲乙杯中各有100ml果汁，求原来甲乙两个杯子中的果汁有多少？
利用表格模型简化条件和问题，让学生简单明了看清问题的本质。这样的模型对于小学生来说并不难建立。学生能够解出这一道问题意义并不大，但是从角度长远来看，学生们学会把复杂的文字通过自己理解以后，提炼重点信息，然后进行整合，这对学生今后处理任何问题都是一种启发，具有重要的现实意义。
以旧换新模型
其实所有数学公式都只是一种数学模型，仅仅是一种新知识的构建方式， 只是把已有的数学模型进行逐级增加难度。例如，多位数乘法这一知识点，以往教学模型，只是在“一个数乘一个数”的基础上逐级增加，新型思维模型的后，教学内容可以加深难度。
“小明家新装修房子，装潢工人需要给墙刷油漆，每平方米需要120元，刷5平方米要多少钱呢？”
首先学生需要把文字用公式的方式套用出来
得出120*5=？
然后学生考虑如何才能得出结论？教师此时引导学生，“一个数乘一个数”运算大家都会，这其中一个数变成三位数应该怎样运算。让学生学会转换思维，用已经学过知识点来得到新结论的数学模型思维。但是教师必须把握教材中各知识点要素，利用学生已有认知的结构模型区进行新思维的开发，从而能够使学生利用已经了解知识模型应对更多类型不变但是难度增加的问题。
利用生活原型上升为数学模型
小学阶段，学生的心理和生理各方面都不成熟，所以在教学过程中教师需要吸引学生注意力，充分调动学生学习兴趣。利用（创设）丰富有趣的情景（境），引导学生思路紧跟教师教学内容展开，“小熊原有120元人民币，这个月奖金199元，现在他一共有多少元？让学生来表演发奖金，先给小熊2张100元钞（200元），小熊找还1元。”其实就是简单多位数的加减法。通过整个题目列出的算式，不仅让学生明白计算事理，在生活中他们能够实践，本质上就是一个建立思维模型的过程。把情境抽象变成数学问题：小熊原有120元，收入199元;现共有多少元？
用数学算式来表示：120+199=120+200-1=319。
总结其中的算理，概括出速算的法则。利用生活原型构建数学模型是小学教学中最基础的方式，通过教师精心设计的问题，创造一个现实情境，学生通过这一例题被老师引导出数学模型思维方式对问题进行解决。
让学生参与到教学中去，自己动手实践
对任何事物充满好奇是学生小学阶段的特点，教师应该充分抓住这一特质，在教学的过程中引导学生自己动手制作教具，使其都参与到教学中来。这是利用情感教材，在教学中利用这一非常重要的基础设施，让学生在自主实践的过程中提高动手能力和主观能动性。在教学过程中对学生进行数学模型思维的培养，是一种非常重要的媒介，能够帮助学生加深记忆，对知识点的理解也会更加透彻，是非常好的学习模型。例如，在教受乘法口诀时，可以在提示部分简单的乘法口诀，后面的部分可以让学生自己找寻规律，总结出剩余部分的惩罚口诀。即锻炼学生的推导能力和总结归纳能力，同时构建模型思维奠定基础。
3.结束语
关键词：数学模型；经济领域；应用策略；数量关系；数学问题
数学与经济学有着紧密的联系，甚至可以说所有的经济学研究与决策，都需要数学的分析与计算。随着数学模型在经济学分析中日益定量化与计量化的存在，使得数学模型在经济学领域中扮演的角色越来越重要。因此，文章针对数学模型在经济领域中的应用策略研究具有至关重要的经济意义与数学价值。
一、数学模型的基本含义
数学模型就是通过对有关数学思想的应用，对一系列实际问题的高度总结与表述。数学模型一般是为了实现特定的研究目标，对现实社会的特定对象提出假设，应用数学图标、图形以及关系式等专业的数学术语及科学的数学手段形成的数学结构。数学模型的数学结构形式丰富多样，其可以是数学图表、算法语言，也可以是几种结构形式的混合。[1]而将现实世界中的具体问题抽象与简化为数学模型即是数学建模，一般包括模型应用、提出问题、模型验证、简化问题、模型改进、模型构建等多个方面。
在经济学领域中，将经济管理与数学模型有机结合在一起，就构建起了经济领域中的数学模型。这一模型就是将实际现象中内部因素间的关系及实践经验总结为一整套反映各种数量关系的具体算法和数学公式，用以描述所研究对象的实际运动规律。数学模型在经济领域中的应用就是通过对客观事物的抽象概括，用模型手段反映各种现象的数量依存关系，这是经济领域中的重要方法之一。值得注意的是，要想实现数学模型在经营领域中的应用价值最大化，不但需要对有关现象实施定量分析，而且要具有深厚的数学功底，如数学中的统计学、决策理论、规划理论等多方面的知识储备。
二、数学模型在经济领域中应用的必要性
经济领域中的数学模型在严格遵循经济理论的引导下，不仅能够实现经济现实的简单化，而且是探究经济领域中各种数量关系的重要工具，也是经济理论与经济现实之间的关键环节。因此，数学模型在经济领域中有着分析问题、解决问题、计算求解、加工信息、验证理论等功能，尤其是能够分析与研究复杂的、范围广的数量关系。[2]从某种程度上讲，在未来经济的发展走向中，运用数学模型对经济领域中的经济问题进行分析，并提出强针对性的经济决策等是必经路径。
与此同时，数学模型也为经济学的分析与研究开创了一条宽广大路，促进了经济学的定性研究朝着定量研究的逐步转化，有助于各项经济决策更加理性化，更具有思维发散的空间。经济学与数学的相互结合，为现实社会创造了巨大的物质财富，也为社会科学的快速发展注入了动力。[3]我们坚信，数学模型必将成为经济发展历程中的一座里程碑，将为经济发展开辟更为广阔的提升空间。
三、数学模型在经济领域中的应用策略
（一）科学采用博弈论
数学模型中的博弈论又被称为“赛局理论”或“对策论”。博弈论在经济领域中的科学用，就是通过对各个市场竞争实体的策略与行为研究，为博弈的国家、企业以及个人的经济活动进行指导。博弈论不但有助于国家分析与把握企业、个人等的经济规律，而且有利于发现博弈中的低效率经济决策，从而为政府实施高效率的资源配置与宏观调控等提供强大的理论支持。譬如，经济领域中可以积极借鉴“智猪博弈”这一模型，引导小型企业认真分析市场形势，前期做好资金积累与模仿工作，然后逐步推动规模的扩大；引导大型企业不断提升经营管理理念，强化体制建设，促进其进一步做大做强。
（二）合理运用高等数学
高等数学涵盖的范围十分广泛，如多元函数、常微分、函数、定积分等，均被广泛应用于经济领域。比如，高等函数能够对经济领域中的各种供需情况予以有效反映，且可以借助于抽象的、简单的函数模型有效解决经济领域中的一些供需问题，进而为国家的宏观调控以及企业的各项决策等提供必要的数据参考。另外，在经济领域中，定积分与微积分也被广泛应用，即根据不定积分的有关原理，能够促使边际函数逐步转化成原函数，从而应用定积分对总成本、总利润、总需求、总收入等问题进行高质高效的解决。
（三）高效使用概率统计学
市场供需关系处于不断的变化之中，尤其是资源供需、商品价格等更是时刻发生着变化。这种情况造成经济规律难以被及时、精准的发现与总结，同时也增加了有关经济风险的发生概率。[4]而依据概率统计学创建起的数学模型，对以上经济风险能够起到很好的解决，即通过分析研究有关的经济数据，以及市场供需与价格之间的微妙关系等，可以对市场的供需规律进行有效总结，进而最大程度的提升经济效益。
总而言之，数学模型作为分析各种经济数量关系的主要工具，是经济现实与经济理论的中间环节。数学模型主要是通过经济理论引导简化经济现实，属于抽象化的经济现实。同时，数学模型在经济领域中发挥着信息加工、求解计算、问题分析、理论演奏、思路明确等功能，尤其是对错综复杂、相互联系且量大面广的经济问题具有很好的处理功能与作用。应用数学模型对经济问题进行分析、对经济走向进行预测、对经济决策进行提出等已是必然的发展趋势。
参考文献：
[1]杨积凤.对新时期经济数学模型构建的探析[J].经济研究导刊，2014（19）.
[2]李娟.数字模型在经济和管理领域的应用案例[J].全国商情（经济理论研究），2010（19）.
[3]胡刚，王淑琴.针对第三方物流企业的物流中心选址模型研究[J].公路交通科技，2002（7）.
在现在的世界，数学建模在各个区域都体现出重要的作用，不论是那个学科区域，数学建模都在当中发挥了不可小视的作用[4]。数学建模是运用数学知识、方法及语言，对需要解决的问题进行建模．对自己建立的模型经过推理、证明、计算，最终用数学软件来求解，对求出的结果同实际问题相符合。总之，数学建模在我国大学人才培养的作用表现在以下几个方面。
（一）有利于团队合作意识的培养
对于实际问题的复杂性．数学建模需要拥有许多数据和信息，用计算机软件对结果进行判断和检查，将结果和实际问题相比较，这个过程在短时间内，只靠一个人的力量是不能做完的。所以，数学建模有利于培养学生的团队意识，这方面恰好是社会对应用型人才培养的最低要求之一。
（二）有利于应用型能力的培养
因为数学建模中所牵扯的数据很多是杂乱无章的，因此。需学生能够进行选取，经过统一的归纳、整顿、加工、提取和总结，对已有条件进行判断，并对数学关系进行有效的描述，最终建立应由的数学模型．再通过所学的知识和方法对该模型求解[5]。为了缩小实际问题，需要对各个因素进行讨论，对可忽略不计的因素进行判断．这要学生必须对实际问题具有深刻地理解。让模型能接近完美、全方位地表现出这一实际问题，同时，还需要该模型好求解，为此，必须对该模型进行有效的改善，要求有更高的知识，发现更多的新问题。
（三）有利于学生综合素质及能力的培养
数学建模实际上是通过数学知识和方法求解社会实际问题的过程，要求学生有很好的数学知识和逻辑思维能力，还要对实际问题的背景有一定的了解，能够对所掌握的各种知识进行相互疏通。数学建模数据巨大而且复杂，因此对还要进行判断，概括，比较等多个过程，经过如此各种各样的培养学生的应变能力、分析和综合思考能力都得到提高，从而加强个人的多重素质和能力培养。
二、数学建模的思想方法
一、创建生活化的数学模型
数学作为小学教育中的基础学科，与我们的日常生活息息相关，许多数学知识以应用到生活中遇到的问题中为教学目标.因此，针对同种类型的数学问题，如何提升解答效率成为人们需要思考的问题.通过常年的经验总结，学者们归纳出相关的数学模型，为人们的生活带来了很多便利.因此，数学模型思想在小学数学教学中具有十分重要的意义.但是数学模型较为抽象，学生们在学习过程中会遇到很多的难题，在教学实践过程中，小学教师需要将数学模型赋予生活化，使学生能够更加容易理解数学，更好地应用数学模型[1].
例如，在小学数学加减法的讲解教学中，为了能够使学生更好地理解加减法知识，小学教师可以举例讲解：小丽家有两棵梨树，经过小丽的观察，其中一棵树开了4朵梨花，另一棵树开了7朵梨花，请问两棵树共开了多少朵花？可以列出如下公式：4+7=11朵.第二天，小丽观察第一棵梨树又开了3朵花，请问两棵梨树共开了多少朵花？公式计算如下：7+7=14朵.第三天，小丽发现第一棵梨树又开了3朵花，请问两棵梨树共开了多少朵花？公式计算如下：10+7=17朵.通过举例子，询问学生们发现了什么样的规律.
小学生一般对生活中的情境比较感兴趣，在认真听讲之后，得出答案，教师可以对例题进行讲解和总结，引出知识点：在运算加法时，一个量不变，另一个量增加，那么最后的结果也随之增加.通过教师构建生活模型，可以提升学生对数学知识的认识，提升学生的学习热情.
二、激励学生参与模型的建立
为了使学生能够深入理解数学模型，掌握数学知识，在进行数学教学的过程中，小学教师应当多多激励学生参与模型的建立中，教师对学生多加引导，鼓励学生努力思考，积极参与教学活动，结合教学内容，建立相关数学模型.在建立数学模型的过程中，学生如果能够参与其中，可以更好地理解模型思想，进行深入的解析[2].
例如，在数学教学中讲解角的相关知识时，小学教师可以通过讲解生活中的角向学生讲解.如，三角尺、三角旗以及三角形的交通标志等.之后，将学生划分为几个小组，对角的特点及组成元素进行观察和讨论，要求学生结合教材内容，猜想角的相关模型.之后，教师对学生的讨论结果进行总结和归纳，引出数学知识点：角是由定点及两条边共同组成的.
在小学数学教学过程中，教师需要充分划分教学实践，给予学生思考和讨论的时间，鼓励学生通过动脑，思考问题，积极地参与到数学模型的构建中.学生通过参与课堂活动，不仅可以获得成就感，还可以提升学生的学习积极性.除此之外，通过建立数学模型，可以提升?W生对数学知识的理解.
三、应用数学模型思想解决问题
设立数学模型思想的最终目的是利用数学模型思想解决相关的数学问题，将数学模型应用到实际问题中，这也是数学模型思想存在的意义.在小学数学教学中，为了能够更好掌握学习数学问题的方法，通过数学思想模型，学生可以将其应用到生活中，学生体会到学习带来了乐趣，树立自信心，除此之外，数学教师可以利用数学模型思想引导学生解决问题，掌握更多数学知识[3].
关键词：模型构建；小学数学；《几何体认识》；影响；意义
数学是万物之本。如果说没有语言就没有文明的创建，那么没有数学就没有现代文明的欣欣向荣。在小学数学中，儿童在启蒙教育已对数字有了基本的概念，但是他们从未接受过几何学的教育。所以，在小学数学的教学工作中，学生的入门启蒙是极其重要的一部分，因为没有开始就没有结果。而小学数学的几何模型构建，是数学其中的一个重要的教学理念。数学模型一般指脱离了事物的具体特性，用数学语言、符号或图形等形式来刻画、描述、反应特定的问题或具体事物之间关系的抽象的数学结构。数学模型是构成数学世界的根本，几乎所有的数学知识都源自对数学模型的解读。如，数学之间数量的关系是物质内在间的数目的联系模型；概念，是数学中物质的抽象模型；性质，是数学中规律的模型。所以，可以说，数学就是一门模式的科学。
1小学数学中几何的教学现状与学生的学习情况
小学数学中的几何教学工作现状
在实际的课堂教学中，老师在引导学生认识几何学入门概念时，往往会出现两个极端。一种情况是，老师在课堂上为了让学生更好地认识几何体，而举出了大量的实际生活中的例子，来方便学生砝斫狻5在老师举了很多例子后，并没有对这些范例进行总结，因为老师作为成人，在潜意识会认为这是通俗易懂的，但实际上学生并没有这种概念，学生自然也就难以理解实例所代表的数学模型。这就好比一个艺术家给一个观赏者一幅无比美丽的画卷，却不告诉你画的是什么。而第二种情况，则是老师在教学中引用了大量课本或数学体系中的抽象概念，而不能很好地举出相应的例子，这同样使学生缺少理论的实际引用，学生同样无法对几何学有一个系统的认识。
模型构建不仅是课堂上学生的学习工具，也是教师教学思想的一种实际应用。现今我国小学教学正在进行新课程改革，而教学工作正在新旧交替的时期，这就使得不同教师的实际教学效果参差不齐。而模型构建是一种数学思想，学校应该时常开展适当的教研会，交流教学经验，建立教学中普及课堂模型构建教学的教育理念。
小学数学学习中学生的学习现状
在学习《几何体认识》这本书时，小学生大多刚刚接触数学不久，对几何没有概念。在这个年龄段，儿童是对未知的事物抱有足够的兴趣的。但在课堂实践中，大部分学生都难以领悟模型是何物，这是因为数学模型的建构需要足够的表象作支撑，但实际上小学生往往会因为生活经历过少而导致无法产生足够的联想从而无法理解课堂所建立的教学模型。而学生作为几何教学的被启蒙者，这个群体需要启蒙者的引导才能走进修行的大门。而老师的教学思想陈旧，教学方法落后是导致学生学习效果不佳的重要原因。数学原本是为生活所服务的，但数学思想中的模型构建并没有与现实相结合，而是成为了生搬硬套的僵硬理论。在几何教育工作中，模型不仅是对教师升华，也对学生的未来学习有着不可估量的影响。
2模型构建对小学几何数学的影响和意义
上文已经提出，模型构建不仅仅是一种教学工具，它更是一种数学、教育思想。在小学数学中，教师无时无刻不在应用模型构建的思想，但他们不是为了方便学生理解，而是方便教学。可以想象的是，老师有意无意中对模型构建的使用，如方程未知数的构建、对生活规律的公式化总结、几何的形状演变等，都是为了更好地理解实际生活。那么，小学生建立一个完整的模型构建思想体系，对其未来的数学学习的好处，则是不言而喻的。数学观，是一种模式观，更是世界观的变相理解。掌握模型构建思想，学生可以举一反三，通过生活实际来反推出实际现象所隐含的数学规律。数学起源于生活，在生活中升华，自然最后也要回归于生活。这一点对于小学数学尤为重要。几何架构是世界的基础，而小学数学更是数学的启蒙部分。几何、或者说数学最重要的就是规律的总结和运用，模型构建思想可以让儿童对生活初步有一个清晰的认识，也对数学的学习有了一个初步系统的了解，使之后的数学学习更加方便。
另一方面，通过教学工作中构建模型的教育理念的建立，老师可以通过多种角度来理解教学目标的内容。更多地，也是建立一种几何教学中的一种教学模式。以模式的角度来看待课堂上的教育工作、以模式的角度来和学生探讨几何学的学习，可以提升课堂的学习效率，也会提高老师的教学水平，让整个教学环节产生一个良性的循环。总的来说，数学万变不离其宗，还是思想的运用，教师和学生掌握了构建模型的思想，可以更好地学习数学，完善小学数学的几何教学模式。
3结语
数学中构建的模型是对数学规律的总结和实际应用。数学的学习是相互的，发现、沟通、总结并反馈，这是一个对立又联系的过程。构建模型，是数学的精华所在，既能培养学生发现生活中实例现象的能力，也能激发他们对理论的思考和思维的培养。数学的发展是一种模式，即数学观即代表世界观。建立一种模式的思想来理解数学，可以让学生体验一种由无到有的过程。只有亲身经历过这种过程，经历思想上的蜕变，才能令学生以一种数学的眼光来看问题。模型构建是一种工具，一种思想，一种理念。学生有了构建模型的过程，自然会培养出应有的数学素养，也一定会对数学有新的理解与感悟。
参考文献：
[1]李树年.小学数学教学中培养学生模型思想的意义思考[J].数学大世界旬刊，2017（1）.
1试验区概况
本研究实验区选在黑龙江省伊春市伊春林区，它拥有世界上面积最大的红松原始林，是典型的林业资源型和生态园林型城市，在我国国有林区中占有很大比重。伊春林区总面积，其中林地面积为，占林区总面积的，有林地面积，占林地面积的，森林覆盖率；有林地面积中天然林为，占，无林地，其中荒山荒地；有林地森林蓄积量为263173261m3。其林区特点为：有林地面积大，增长潜力大；森林面积、蓄积增加，可采资源所剩无几；森林质量退化，单位面积蓄积减少；龄组结构比例不合理，资源分布不均衡等。
2研究方法
原始数据伊春市从2001年开始每年对林区森林资源进行连续清查。本研究利用2001年到2012年伊春森林资源的连续清查数据，由于数据较少和贫乏的信息带来的灰色不确定性，于是采用灰色系统理论对森林资源指标进行动态预测分析。
3结果与分析
根据伊春市森林资源清查的实际数据，可以建立起预测模型指标的原始数据，见表2。森林资源指标包括森林的总蓄积量、森林覆盖率和有林地面积。由表2可知，森林总蓄积量呈现先下降后上升的波动性变化，在2007年的波动性最大，总蓄积量从2006年的×108m3下降到×108m3，之后2008年又上升到×108m3。森林的覆盖率总体上呈现上升的趋势。森林的有林地面积的变化趋势和森林总蓄积量大致相同，但在2010年出现了较大幅度的波动，森林有林地面积从2009年的万hm2增加到万hm2，2011年又下降到了万hm2。
伊春林区森林资源的原始数据必须具有准指数规律才可用于建立GM(1，1)灰色预测模型，故对原始数据进行准光滑性检验。准光滑性检验的结果，见表3。由表3可知，伊春林区森林资源各指标序列对于k＞3均有r(k)=x0(k)/x1(k-1)＜，资源数列为准光滑序列，其中r(k)表示取k时的光滑比，可建立GM(1，1)灰色预测模型。根据公式（2）～公式（8）结合原始数据，计算出伊春市森林资源灰色预测模型参数，并建立伊春森林资源指标的灰色预测模型，见表4。由表4可知，a值都小于0，这说明预测模型最终呈现上升的趋势。根据公式（9），结合表4伊春市森林资源灰色预测模型参数，预测伊春市2001～2015年森林资源的预测结果，见表5。由表5可知：预测值和实际值之间虽然存在一定的差异，但是差异较小，具体的情况还要对表5中的数据进行模拟精度的检验。利用GM(1，1)模型建立的伊春市森林资源的预测模型是否满足实际情况，由灰色模型的模拟精度所决定。在对预测模型进行模拟精度的校验时，采用单一的检验指标容易对模拟精度的高低做出误判。本研究中，根据伊春市森林资源的实际情况和动态预测模型的实际需要，选取平均相对误差E、平均绝对误差E0、均方差比值C和小误差概率p等4项模拟精度检验指标。伊春市森林资源动态预测模型的模拟精度的各个检验指标计算出来的数值以及模拟精度的高低，见表6。由表6可知，森林覆盖率和有林地面积预测模拟的精度为1级，森林总蓄积量的模拟精度为2级；精度都较高。
【关键词】 新课程标准；数学建模思想；建模过程；建模方法
众所周知，数学建模在中学数学教学中有着非同寻常的地位和作用. 而新课程标准背景下的初中数学教材向学生提供了大量现实的、有趣的、富有挑战性的学习内容，这些内容的呈现主要以“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的基本形式展开，即从具体的问题情境中抽象出数学问题，使用数学语言表述问题，并建立数学模型，然后用相关的数学方法解决数学问题，最后获得对实际问题的合理解答. 这样一个将数学知识应用于实际问题的过程，就是数学建模的过程. 作为初中数学教学来讲，这个过程应得到高度重视. 而模型思想在初中阶段的数学学习中多以实际问题转化为方程或二次函数来加以解决，下面就结合初中数学“一元二次方程”和“二次函数”的教学谈一下建模思想的培养.
一、让学生经历探究数学模型的全过程
新课程标准下的教材都是以“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”为基本叙述方式，因此，在教学中应尽可能地运用或改良教材中的问题.通过教师的适度启发，让学生自己去研究、探索、经历数学建模的全过程，从而使学生体会到方程、不等式、函数等都是刻画现实世界的有效数学模型，初步领会数学建模的思想和方法，提高数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力. 下面以“一元二次方程”中的一个“建草坪” 问题为例简要说明.
原题如下：某住宅小区内有一栋建筑，占地为一边长为35 m的正方形.现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900 m2的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等，问人行道的宽度为多少米.
解：如图所示，设人行道的宽度为x m，则草坪的边长为（35 - 2x）m.根据题意，可以列方程：（35 - 2x）2 = 900.解这个方程得：x1 = ，x2 = .根据修建草坪面积的要求和人行道宽度的实际意义分析，x2 = 不合题意，应舍去. 所以人行道的宽度应为 m.
在以上分析解决这个数学问题的过程中，首先要引导学生知道谁是模型、是谁的模型、属于哪类模型. 该问题的实际数量关系“某栋建筑所占地是边长35 m的正方形，四周留出一样宽的人行道之后，中间的正方形草坪面积是900 m2”是问题的原型，而模拟该实际数量关系的一元二次方程（35 - 2x）2 = 900是该原型的模型.
其次，要让学生体会建立数学模型的基本过程. 对“建草坪”这个问题而言，建模的基本过程是：第一步进行数学抽象，挑出问题中的数量要素，淘汰无关内容；第二步找数量关系，本题是找出所得各数量要素之间的等量关系；第三步找数学模型，本题是结合正方形的面积找到合理的方程模型，用它来表述所得等量关系——这就建立了数学模型；第四步解模，解方程得结果，对照原型问题进行检验，得出最终结果. 二、让学生体验到数学建模的方法
数学建模是为了解决实际问题，但对于初中生来说，进行数学建模教学的主要目的并不是要他们去解决复杂的实际问题，而是要培养他们的数学应用意识，初步掌握数学建模的方法，为将来的学习打下坚实的基础. 因此在教学时教师可以通过教材中一些不太复杂但有意义的应用问题，带着学生一起来体会数学化的过程，从中给学生体验一些数学建模的方法. 下面通过“二次函数”中一个“利润最大值”问题加以说明.
原题为：某商店经营T 恤衫，已知成批进时单价是元. 根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件. 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
在上述问题的实际教学过程中，数学建模的基本方法和过程如下：
1. 将实际问题抽象出数学模型
设销售单价为x（ < x ≤ ）元，利润为y元，则销售量为[200（ - x） + 500]件，考虑到利润 = 销售总额 - 进货总额，故有
y = （x - ）[200（ - x） + 500]
= -200x2 + 3700x - 8000. （ < x ≤ ）
这样原问题即转化为二次函数的数学模型.
2. 此时问题变为求二次函数的最大值问题
将二次函数式配方后为y = -200（x - ）2 + （ < x ≤ ）.
由二次函数知识得：当x = 时，y最大 = .故当销售单价为元时，最大利润为 元.
在上述问题的解决过程中，要力求让学生体会并总结出数学建模的一般方法，即：
（1）读懂题意. 面对由实际问题所呈现的材料，要读懂其中所叙述的实际问题的意义，判断该实际问题要解决什么，以及涉及哪些相关的知识领域.
（2）理解转换. 理解各种量之间的数量关系或位置关系，抓住关键，舍去非本质因素，挖掘隐含条件，将实际问题转换成相应的数学问题.
（3）函数建模. 通过数学符号化，即利用已知量的代入、未知量的设定、数量关系的沟通，建立与实际问题相对应的二次函数模型.
（4）实施解模. 用已有的数学知识和解题经验对所建立的二次函数模型求解，并根据实际问题的约束条件设计合理的运算途径，得到初步的数学结果.
关键词： 云计算；BP网络； Map-Reduce；作物预警
中图分类号：
文献标志码：A
Abstract：In this paper， the crop data collected by the sensors are uniformly managed to establish data cluster pool， and after Map-Reduce model mapping classification preprocessing， BP network dynamic training are applied， further weights are summed up to output prediction full use of cloud computing technology advantages to dynamically adjust computing resources in network training， effectively shorten the training cycle， optimize and improve BP network structure， so as to improve the overall efficiency of the system and achieve crop accurate early warning. The experiment shows that this model which has good convergence speed and good stability， can solve the problem of crop disease and disaster warning. It is concluded that the proposed construction is an effective model of comprehensive prevention and control of crop.
Keywords：cloud computing； BP network； Map-Reduce； crop warning
0 引 言
目前，国外部分国家采取农作物病虫害数字化监测预警的方式对作物进行评估、识别诊断、网络互联预警和数据样式的规范统一，通过建立病虫害诊断和综合治理体系、网络远程互联体系、病虫害信息系统实现农作物病虫害监测数字化、信息采集自动集成化和一线监测人员技能化[3-5]。中国已有数省也推广试行了农作物病虫害数字化监测预警，但是针对我国农业信息资源的开发利用仍比较分散、独立性也有待完善以及信息资源多样化亦难以整合，省份间建立数字化监测预警系统的框架不同、功能各异、系统运行的软硬件配置存在较大差异而使得作物灾情数据无法通用共享等多重现实问题，数字化监测预警在全国进入实践应用也仍尚需一定时日，而物联网和云计算的研发运用则成功地解决了信息共享问题[6]。基于我国目前现状，本文则将打造海量作物数据信息共享平台作为出发点，通过云计算技术与智能算法相结合设计实现一套农作物灾情预警机制，用户借助本机制可以方便获取到作物的生长情况，并依据由此生成的有效信息，定制形成完备结果预判[7]。
本文引入云计算优化BP网络训练结构，设计一个结构合理、运行效率高、预警速度快的模型，该模型能够辅助专家学者对作物的生长状况做出判定，最终得出预警结果。利用云计算的弹性伸缩和动态调配的优良特性，不仅解决了原BP网络训练所需计算资源动态调配和预警速度慢从而导致模型预测不准确、不及时等问题，而且更进一步改善了用户体验，同时还可显著突出地提高数据处理能力。
1 模型系统设计
模型算法设计
考虑到以往由于使用智能算法推算事实根据时所使用的数据信息未臻充分客观，导致智能算法模型预测存在准确性差、偏差大的问题，通过传感器采集作物生长的信息，包括作物生长环境的温湿度和土壤情况、平均风速、光照强度、降雨量等，通过有针对性地采集存储影响作物生长的有关信息，在此基础上设计建立作物灾情数据集群池。
面向集群池中大样本、大数据处理，传统BP网络在计算资源的动态使用情况、训练周期长短等方面将面临严峻挑战，为了提高作物预警的准确度，本文对收集的大数据样本在加工经过了必要的数据预处理后，再利用BP网络进行动态训练，优化结构，算法流程如图1所示。
Map-Reduce模型ψ魑镌智槭据资源池进行数据映射归类预处理，研究给出的运作机制过程如图2所示。本文即是利用该运作机制处理海量作物灾情数据，满足网络训练对数据的处理要求。
模型总体结构
为了解析得到一个具备适应作物灾情海量数据处理能力的BP神经网络结构，本文采取在传统BP结构的基础上匹配指定一个数据处理模块和结果归总模块，前者是建立在海量数据并行处理上的，采用Google提出的分布式并行编程模型组织集群处理大规模数据集，即Map-Reduce模型，后者是建立在动态调整加权归总输出的基础上。至此，本文则基于开源Hadoop云计算支撑平台，研究设计BP算法的Map-Reduce并行海量数据处理作物预警模型。模型总体结构如图3所示。
由图3可见，这里将给出模型总体结构中各个关键模块的技术功能展示，可做如下论述。
1）数据处理模块。采用Map-Reduce模型处理机制，作物灾情数据经过设定操作后分割转换为互不相交、最小分解的Task，主服务器对这些Task分析产生，然后分配到不同的Map中展开并行处理，即映射过程，此过程主要是对作物灾情数据利用机器整理归类，如根据降雨量进行分割映射。Reduce对Map阶段产生的结果集在调取经过了外排序和归并等算法整合后，输出最终处理结果，即归类过程，此过程汇总数据后满足数据处理要求。数据预处理的手段可呈现出多样化选择，如引入专家系统，实现智能化处理。
2）网络训练模块。利用Map-Reduce模块输出的结果集，拓展加入了MATLAB必要的数据处理后将产生网络训练样本集，网络训练的目的也是为了得到最佳的权值阈值，利用误差反向传播调整权值。模型可以对后来数据进行预测判断。
3）结果归总模块。网络训练模块对多种数据构建自适应学习，得出预测结果集，本模块将根据网络训练结果预测集合按照权重归总得出最终预测结果，可结合专家意见后实现协同优化智能研判。
模型设计实现
建立数据采集中心
为了更好地对作物灾情进行准确预测，对传统数据采集个人使用的局面进行升级处理，在信息大爆炸时代，信息共享则显得尤为重要，建立作物预警模型的基础就是建立作物灾情数据集群池，在农作物生长环境中架设多类传感器实时采集存储影响作物生长因素，研发创立了数据采集中心。采集的数据主要有作物的受害部位图像、生长环境的温湿度和土壤情况、平均风速、光照强度、降雨量等，作物信息数据可根据用户的个人需求灵活选取、自主收集。
建立数据集群池
为了实现农作物灾情数据信息共享最大化和统一管理高效化，就要规划创建分布式数据集群模式化的存储模型。数据采集中心利用云计算技术灵活调度全网区域资源合理分配，并对数据采集中心的数据提供高效可靠、整体统一的存储管理，从而技术可行地实施建立了信息共享池。
数据预处理
数据处理模块是网络训练模块的前提基础，也是整个作物预警模型的核心关键。数据预处理对于模型建立更是具有首要地位作用，数据处理的好与坏直接影响模型建立的成败。本文提出采用Map-Reduce模型对数据共享池中的作物数据进行分类处理[8]，以及运用MATLAB工具对数据集成设定加工处理及网络训练。
模型网络训练
数据处理后，网络通过智能算法自学习找到样本数据的自身规律，得到一般的非线性映射预测模型的权值和阈值。网络训练模块充分利用云计算技术优势，在网络训练时动态调整计算资源，明显缩短训练周期，高效快捷地得到准确度颇高的预警模型。
结果归总输出
为了准确预测作物灾情，综合多方面预测影响因素，即需对网络训练输出结果集进行归总处理，可根据准确度高低加进不同的权重对这些预测结果形成加权输出。确定权重是重点关键，模型初态取平均比例，后期根据预测结果与实际结果的误差大小设计选择动态调整，调整规则可表述为：
1）初始状态采用平均权重的方式进行归总。
2）将输出结果与期望结果来构建对比，偏差大的，权重相应减小；偏差小或无误差的，权重相应增加；偏差不变的，权重保持不变。
3）若同一权重阈值的预测结果多次出现较大预测偏差，权重将会减小至零值，即该网络的权重阈值将舍弃不用。
2 结束语
本文在BP基础上融入云计算技术对研究模型结构进行调整优化，对预测结果综合切入了多方位、多因素的全面考虑，对预测结果的准确度设计展开了动态调整优化，对于预测结果差、准确度低的实际输出通过调整降权，使模型预测偏向预测准确度更高的一方，最终整体获得智能高效的作物灾情预测结果。经实践验证，模型呈现出良好的收敛性、较高的准确率以及较好的预测能力。作物灾情数据资源池和知识库的建立将为作物智能监控提供有力保障，突破传统信息采集模式，实现作物实时监测与控制，进而提升我国农业生产智能化、管理科学化的发展水平。同时，模型还可准确地对作物灾情进行预测，给农耕者和专家学者们报送有价值的作物生长状况信息，并有利于及早做出合理的种植计划、以及制定正确的决策部署，模型应用具有广阔可观现实前景。
参考文献：
[1] 邓维， 刘方明， 金海， 等. 云计算数据中心的新能源应用：研究现状与趋势[J]. 计算机学报， 2013， 36（3）：582-598.
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[3] 刘万才， 刘宇， 曾娟， 等. 推进农业有害生物数字化监测预警建设刍议[J]. 中国植保导刊， 2009， 29（10）：11-15.
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[6] 陈学斌， 张淑芬， 王向东. 物联网在小麦病虫草害监控中的应用[J]. 中国植保导刊， 2014， 34（5）：38-42.
关键词：小学数学；数学思想；感悟
一、创设问题情境，引导学生感悟“再创造”思想
二、借助问题探究，引导学生感悟“建模”思想
在课堂教学过程中，教师要结合长方体、正方体体积计算相关知识点，全方位分析小学生的兴趣爱好、个性特征、心理特征等，合理安排教学内容，采用多样化的教学方法，为学生提供更多参与课堂教学实践的机会，增加师生、生生互动，引导学生更好地学习数学知识与技能。在学习相关章节内容的时候，教师可以根据班级学生已有水平，合理划分小组，共同探讨计算长方体体积的方法，可以两个学生一组，将12个正方体搭建成一个长方体，体积为1 cm3。在探讨过程中，教师要把课堂还给学生，引导他们自主思考，共同合作，想出多种搭建方法，教师也要借助多媒体教学工具，引导学生对比、分析对应的图形，激发他们的数学思维，直观、形象地理解每排个数，具体的排数等，进而知道每排个数、层数等和长方体长、宽、高等之间有着怎样的关系，得出正确计算长方体体积的方法。而这个过程被叫做建模过程，学生需要亲自操作，借助拼摆、对比，对比分析每排数、层数等和长方体长、宽、高等的联系，甚至和长方体体积的关系，优化利用已掌握的知识点，得出长方体的体积，即长×宽×高。学生也可以把这种“数学建模”思想应用到其他章节的学习，迅速找到解题的突破口，提高自身的解题能力。
三、注重交流探讨，引导学生感悟“演绎”思想
在探讨长方体体积计算公式的过程中，教师可以巧设问题情境，比如，长方体的体积就是其长、宽、高的乘积吗？通过反问，调动学生学习新课的积极性，对该问题产生浓厚的兴趣，适当点拨学生，重复实验、验证，得出相关结论。在验证这一结论的时候，可以让学生跳出定势思维的圈子，发散他们的思维，更好地感悟“演绎”思想，提高他们的认知水平，能够站在不同的角度去解决遇到的问题，培养他们的逆向思维。在此过程中，教师要坚持层层递进的原则，激发学生的探索欲望，引导他们不断思考，思考在长方体长、宽不变的情况下，但高却处于动态变化中，来验证这一结论是否正确。长此以往，学生的思维也会更加缜密，不断完善已有的知识结构体系，构建知识框架，更好地学习数学学科。
总而言之，在“正方体和长方体体积计算”课堂教学中，引导学生感悟不同类型的数学思想是非常必要的。在此过程中，可以帮助学生理性地认识客观事物，在学习数学知识、技能的同时，充分意识到数学在日常生活中的重要性，引导学生借助实际问题，去发现数学，并有效解决遇到的问题，学会多角度去看待客观世界，培养学生多方面素养，促进他们德、智、体等全面发展，为进入更高阶段的学习奠定坚实的基础。以此，改变小学数学课堂教学现状，提高课堂教学效率与质量，构建高效课堂，更好地践行素质教育提出的客观要求。
参考文献：
【关键词】独立学院;数学建模;培训模式
【Abstract】With the rapid development of independent college， more and more independent college team participated in the mathematical contest in modeling， but the result is not good. In this paper， Starting from the mathematical modeling training mode， according to the practice in recent years， summarizes the teaching experience， puts forward a set of effective training mode.
【Key words】Independent college; Mathematical modeling; Training mode
0 引言
全国大学生数学建模竞赛是目前全国高校规模最大的大学生群众性科技活动。旨在激励学生学习数学的积极性;提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力;这个平台培养了大学生的创新思维及团队协作精神，极大地推动和深化了素质教育改革，促进了高校特别是独立学院对应用型人才的培养。
1 独立学院数学建模培训模式的现状及存在的问题
近年来，越来越多的独立学院在母体普通高校的支持下成熟起来，参与数学建模竞赛的独立学院也越来越多。但是总体看来，由于办学时间短，经验不足，有的只能照搬母体普通高校的培训模式而忽略了独立学院自身的特点，因而参赛成绩始终不理想。问题主要存在于以下几个方面：
复制母体普通高校的数学建模培训模式
大多数独立院校的师资都以青年教师为主，教学经验不足，指导数模竞赛经验更是严重欠缺，在这种形势下以学生自学为主，布置大量练习，以练代训的方式培训学生取得的效果不佳。
独立学院的数学基础较差，参加数学建模的兴趣不浓，主动性差
很多学生通过高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础数学课程的学习，对数学的实用性和理论性产生了怀疑，对数学产生畏惧心理和抵触情绪。基于这种情况，许多学生对数学建模也是望而生畏。即使是部分参加了数学建模选修课和数学建模培训课程的同学也感觉很难学、太辛苦而半途而废。另外，有的不愿意主动学习，对教师的依赖性太强也是一个重要的原因。
鉴于上述情况，迫切需要建立适合我院自身情况的数学建模培训模式。我院对数模培训模式进行了积极的探索和改革并不断的丰富。
2 培训模式的探索与改革
加强宣传力度，建立浓厚的数学建模氛围
随着网络时代的到来，师生获得信息的手段不断丰富，从传统的橱窗、宣讲到LED大屏幕、微博、微信。我院抓住不放过每个宣传机会和渠道，从校内数模竞赛到全国数模竞赛的组织报名、培训现场、比赛现场再到赛后讲评直至最后的颁奖仪式都保留照片资料，并通过上述方式宣传;并让获奖队员通过开宣讲会的方式与同学分享学习心得及体会，使得越来越多的同学知道什么是数学建模、数学建模的用途。
同时，相当多的教师对数学及数学建模课程缺乏足够的了解和正确的认识，不利于数学建模活动的广泛开展。我们也充分重视与院系主管领导、宣传部门及学生口的老师间的沟通交流，共同营造开展活动的良好氛围。
建立连贯、行之有效的选拔机制
独立学院的特点是重技能培养，因此数学建模竞赛的参赛队员大多都是大一大二的同学，大三的同学较少，所以建立行之有效的选拔机制尤为重要。我院从同学入学之初就注重因材施教，针对大一的学生，我们首先在高等数学、线性代数等基础数学课程中适时地融入数学建模思想，即向学生传达对于实际问题，可以通过对问题的抽象、简化假设确定变量与参数，并应用某些“规律”建立起变量、参数间确定的数学表达式（也称为数学模型）。同时根据教学内容讲解与之相关的数学建模案例与数学软件的使用，如在讲解一元函数介值定理时引入日常生活中经常碰到的“椅子能在不平的地面上放稳吗”的案例，这样就在日常教学过程中建立起了数学建模知识与基础数学知识的融合体系。并且由各班任课教师上报第一批次的推荐名单，让这些同学加入数学建模协会，作为将来参加数学建模竞赛的人员储备。
到第二年，针对上述学生以及有兴趣的学生，由教务处组织，开设数学模型选修课，比较系统介绍常见的基本模型与求解方法。4月，再次邀请数模专家到我院进行讲座，这次的目的是进行数学建模竞赛的动员，主要介绍历年数学建模竞赛的情况与赛题特点的分析。5月，组织学生参加本部的校级数学建模竞赛，期间派参加过全国赛且获过奖的高年级学生协助老师对参加校级赛的学生进行指导，让想参加全国赛的学生对数模竞赛有一个初步的体验，从而为参加全国赛打下良好基础。6月，组织学生报名参加全国赛，以自愿组队为主，参考校内竞赛成绩，通过学生陈述所做校内竞赛题目的建模思想、教师提问的面试方式，最终确定参加全国竞赛的学生名单。
坚持师生讨论学习与实战演练相结合
为了打破这种自学为主、以训代学的教学方式，也为了克服学生对数学的恐惧心理和抵触情绪，我们坚持对高年级预参加数学建模竞赛的同学采取师生讨论学习与实战演练相结合的方式。
在暑假期间，先利用10天时间，指导教师和参赛队员一起研读、讨论往年数学建模竞赛的优秀获奖论文。要从问题的假设开始，讨论主、次要矛盾的鉴别以及次要矛盾的合理取舍;到论文中使用的方法以及揣摩该方法是如何想到的;直到最后论文的整体布局以及行文措辞。通过这种方式的讨论，由开始的时候老师提问学生回答，到最后同学自己争论、各抒己见，效果良好。
再利用10天时间对学生进行模拟实战演练，一般是按照竞赛的规则，要求学生在三天内完成一套真题并提交论文，每篇论文都要经过三位指导老师的评阅，第四天指导老师组再对所做题目进行点评与解析，并将所提交的每篇论文进行总结后返还给学生做进一步的完善。这种点评方式在培训中也取得了良好的效果。
努力做好后数学建模竞赛的工作
数学建模竞赛应当是一个系统工程，竞赛虽然结束了，但是数学建模工作远远没有结束。做好数学建模竞赛的总结工作尤其重要。竞赛队员应从如下两方面做总结：第一，如果给更多的时间是不是论文可以做的更好，也就是要在数学建模竞赛后继续做研究来培养队员做事善始善终的品格。第二，作为高年级的队员，应善于总结参赛经验和参赛心得，在讨论会上向低年级同学分享经验，以达到承上启下的效果。
同时，指导教师也应积极做好总结，对于一个办学时间较短的独立学院来说，我们缺乏的就是经验，珍惜每一次比赛的机会，认真做好总结对以后的工作有非常大的指导作用。通过总结，我们发现了在竞赛组织方面的不足，在下次的竞赛中得以改进。通过总结，我们丰富了授课素材，在指导了学生的同时也武装充实了自我。（下转第308页）
（上接第54页）3 总结
通过数学建模的教学和竞赛，学生的创新意识和综合素质得到了一定程度的提高。但是独立学院的数学建模教学还不够成熟，在教学内容、教学方法等方面还有很多不足之处，有待更多的教师加入到数学建模的队伍中来并指导学生建立数学模型，真正提高学生的创新能力，培养应用型人才。
【参考文献】
[1]王兵团.数学建模基础[M].北京：清华大学出版社，2004.
一、在课堂中渗透数学基本思想
数学的精髓是什么？学习数学的价值是什么？这些都指向数学思想，这是新课程标准对数学教师所提出的基本理念。对数学基本思想的体会和感悟必须融入到数学知识、技能的学习之中，必须持续不断、螺旋式地进行渗透。
1.经历抽象，感悟思维之美
冯·诺依曼说过，数学思想方法一旦被构思出来，这门学科就开始经历它本身所特有的生命。抽象的开始就是数学的产生，如概念、法则、公式等都是抽象的结果。抽象思想派生出分类思想、集合思想、数形结合思想等。如特级教师徐斌在教学“鸡兔同笼”时，就采用了画图法，用“”表示头、用“|”表示脚数，用“ ”表示鸡；用“ ”表示兔。这些“符号画”既是形象的图画，又是抽象的符号，让学生在图画中了解“添脚法”和“去脚法”，这种数形结合的方法如同形象思维向抽象思维过渡的“脚手架”，把复杂的“鸡兔同笼”问题演绎得如此简单，学生不但掌握了基本的数学知识和技能，更深化了数学思想。数学学习必须让学生品味数学抽象的价值与魅力，经历数学抽象之旅，感受数学抽象思维的魅力。
2.重视推理，发展学生智慧
推理是指人们以反映客观规律的理论或事实为依据，推测事物求知部分的思维方法，这是根据一个或几个未知的命题推出一个新命题的思维形态。推理思想衍生出归纳思想、演绎思想、化归思想、转化思想等。如在推导“平行四边形的面积”公式时，笔者让学生自己研究如何转化成已知的图形来推导公式，学生很快就通过剪、拼、移，把平行四边形转化成长方形，推导出平行四边形的面积公式：面积=底×高。此外，三角形的面积、梯形的面积、圆的面积、圆柱的体积、圆锥的体积等的学习都可以利用转化思想来进行。转化在计算领域也功不可没，如小数的乘除法可以转化成整数的乘除法。总之，教师不仅要重视学生思维的形成，还要培养他们的推理能力，尤其要精心提供推理的材料，重视推理的方法，发展学生的智慧。
3.构建模型，积累活动经验
新课标指出，数学活动应体现“问题情境——建立模型——求解验证”的过程，这个过程要有利于学生理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累数学思维活动经验，促进学生的全面发展。如在教学《植树问题》一课时，笔者先引导学生从问题入手，数形结合，用画图或摆小棒的方法，寻找“点与间隔”的内在规律，然后再引导学生建立模型：总长÷间隔长=间隔数、间隔数+1=棵数（两端都种），然后再进一步引导学生解释与应用模型，让学生的模型思想得到进一步巩固，最后再进行模型的拓展，如探究“一端种一端不种”或“两端都不种”的植树问题。在这些训练中，学生构建起“植树问题”的数学模型，将复杂的问题简化，同时积累数学活动经验，学会数学思考。
二、在课堂中强化数学基本思想
关键词：新船订单 移动平均 灰色系统 神经网络 组合模型
一、组合模型的优势
以往的研究通常通盘考虑新船订单的全部影响因素，谋求建立大而全的预测模型，因此不要说对新船订单进行准确地定量化预测，即便是对新船订单的趋势预测都难免会出现偏差。从新船订单的历史数据来看，这些数据具有较强的周期性和趋势性，反映了新船订单的发展过程和演化规律，因此，针对事物的时间序列数据，利用不同模型把握序列的不同特征，再对各单项预测结果进行组合是一种有效的方法体系。本文单独采用移动平均、灰色系统和神经网络对世界新船订单趋势进行预测，再对单个预测结果进行拟合回归，建立新船订单趋势预测的组合模型，结果表明，组合模型比单一模型提高了预测精度。
二、新船订单趋势预测的组合模型
（一）趋势移动平均方法
新船订单在一定时期内具有明显的线性变动趋势，本文首先采用趋势移动平均进行预测，以获取新船订单的线性趋势特征。假设新船订单时间序列y1，y2，…，yt，从某时期开始具有线性趋势，并认为未来亦按此直线趋势变化，则可设此直线趋势预测模型为：
上式中t为当前时期数，T为由当前时期数t到预测期的时期数，即t以后模型外推的时间，■为第t＋T期的预测值， at为截距； bt为斜率。利用世界新船订单历史数据进行移动平均预测，得到直线趋势预测模型的结果，发现有的年份误差较大，原因是该年份中船东或航运企业的投资性需求出现了大规模扩张，导致新船订单的突变。利用该方法预测2012年的新船订单为77百万修正总吨，2013年为66百万修正总吨。
（二）灰色系统预测算法
灰色系统能够利用“较少数据”建模，并发现未来发展趋势的波动性。灰色系统的GM（1，1）模型是较常用的数列预测方法。本文利用1975—2011年的历史数据，以2003年为分界选择两段样本数列进行GM（1，1）建模，并得到相应的预测结果。从预测结果能够看出，第一个周期的预测效果较好，而在第二个周期中，由于新船订单表现出非线性的特点，每年的新船订单数量会出现大幅波动，因而GM（1，1）模型比移动平均方法更为适合。利用第二周期的样本数列得到辨识算式为：
求得a＝，b＝，得到GM（1，1）预测模型为：
X（K＋1）＝ -
（）＋ （3）
利用式（3）预测到2012年的世界海运周转量为55百万修正总吨，2013年为44百万修正总吨。
（三）BP神经网络算法
BP神经网络算法由一个输入层，一个或者多个隐含层和一个输出层组成，每一层由一定数量的神经元构成，诸多神经元是互相关联的。以往的研究表明，对于三层和三层以上的BP神经网络，如果隐层神经元数目足够多，就能以任意精度逼近一个非线性函数。因此，隐含层上的神经元个数对增加预测准确性和收敛稳定性具有非常关键的影响。根据Kolmogorov定理，本文以前4年的新船订单量作为输入量，输出量是下一年的世界新船订单，隐含神经元选择为8个。BP神经网络计算选择Matlab2009软件完成，从预测结果和实际值的对比发现，虽然最近几年的新船订单波动较大，但是用BP神经网络能够获得新船订单的非线性特征，进行预测的效果明显好于前面的移动平均和GM（1，1）模型，进一步预测2012年的世界新船订单为72百万修正总吨，2013年为53百万修正总吨。
三、组合模型预测
组合预测模型通过利用不同模型的优点集合了尽可能多的有用信息，总体来看能够弥补单个预测模型的片面性，本文选择常用的回归拟合法确定单个模型的权重值，从而得到组合预测模型的公式为：
R＝R1*r1＋R2*r2＋R3*r3＋C＝R1*＋R2*＋R3* （4）
其中R1为移动平均预测值，R2为灰色系统预测值，R3为神经网络预测值，r1、r2和r3分别为三种方法在组合预测中的权重。表1中列出了三种单独预测模型和组合模型的误差平方和，由误差对比可以看出，本文所提出的组合模型可以对新船订单进行较准确的趋势预测，且其预测效果优于单项预测模型。针对2012年和2013年的世界新船订单发展趋势，前面三种单项预测模型得到了各自的预测结果，进一步利用组合模型，得到2012年的世界新船订单为百万修正总吨，2013年为百万修正总吨。
四、结论与建议
新船订单在复杂多变的环境下，其长期走势不具有能够把握的内在规律，在特定的时期既会表现出线性发展趋势，也会突然出现极值突变，呈现出非线性的特点，因此，单一的预测方法有很大局限，不能抓住新船订单的内在发展规律。本文首先采用三种方法分别对世界新船订单进行了趋势预测，然后建立组合模型对单个预测结果进行了拟合回归，建立了新船订单预测的组合模型。针对预测结果的对比分析，可以发现：
1、三种单独的模型和组合模型能够较好地反映2002年以前的变化，而且误差率在10%左右。2003年以后船舶市场先是迎来一次高潮，接着在2008年受金融危机影响严重下滑，导致新船订单出现剧烈动荡，三种模型和组合模型的预测误差都非常高，移动平均方法的误差最高甚至达到。
2、总体来看，组合模型预测结果的误差平方和最小，BP神经网络模型次之，移动平均模型的误差平方和最大。虽然三种单独模型和组合模型的预测精度都不甚理想，但是对船厂和船东来说，他们更关注的是新船订单的发展趋势，而不是新船订单的精确数值。预测结果的对比发现，组合模型比单一模型在新船订单趋势预测方面有更高的准确性，其能紧跟新船订单的发展趋势，预测结果具有相当高的参考价值，能够作为船东和船厂进行战略规划的决策依据。
3、利用组合模型，预测得到2012年的世界新船订单为百万修正总吨，2013年为百万修正总吨，这说明未来两年新船订单仍然呈现下降的趋势，全球船舶市场面临的形势依然严峻。
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④邓聚龙．灰色控制系统（第二版）[M]. 武汉：华中科技大学出版社，1997
关键词：人力资源；需求预测；创新与实践
一、专业管理的目标描述
1.专业管理的理念或策略
“十二五”时期，随着西部经济的快速发展和电网企业建设“一强三优”现代公司发展战略目标的推进、“三集五大”体系建设的深入贯彻落实、主多分开以及人力资源集约化管理的要求，对电网企业的用工水平提出了更高的要求。因此，打破单一用工数量预测向科学、合理地进行人力资源需求数量、结构和质量预测工作就成为人力资源规划和计划工作的必然趋势。
从具体人力资源业务来看，现有电网企业的人力资源规划虽然能够从战略高度思考和谋划人力资源队伍发展及人力资源管理工作全局，但人力资源规划预测不能与生产经营发展密切结合，形成具体合理的人力资源配置；劳动定员管理作为优化人力资源配置解决结构性问题的有效方式，严格按照电网定员标准执行，但与现有的实际用工不能有效结合，影响人力资源的优化配置；近年新员工招聘更多依据超定员情况进行配置，但不能有效地与超缺员岗位所需素质要求匹配。因此，迫切需要一种科学、合理、全面的人力资源需求预测方法解决人力资源配置问题，而电网企业人力资源需求预测模型设计正是从用工总量、人员结构和员工素质三方面全方位进行人力资源优化配置。
2.专业管理的范围和目标
本项目根据企业战略与经营发展要求，以“控制用工总量、优化员工结构、提升队伍素质”为根本出发点，建立人力资源总量、人员结构和人员素质需求预测模型，从数量、结构和质量三个方面进行人力资源优化配置，并实现控制人工成本、提升效率及效益的管理目标。
以控制用工总量为目标，在分析业务增长对用工需求的基础上，研究用工总量与其影响因素（关键驱动因素）之间的内在联系，同时分析生产效率提升对用工需求的缓解作用，采用数理统计与经营管理策略相结合的方法，建立兼顾业务发展和效率提升的人力资源总量需求预测模型，实现“用工总量需要多少人”的预测目的。
以优化员工结构为目标，在深入分析各专业用工数量与影响因素之间内在联系的基础上，将预测的用工需求总量向下分解到各专业，以明确各专业的用工需求量；结合人员配置率，将各专业的用工需求预测增量进一步向下配置到各下级单位或各二级单位，建立兼顾业务发展和用工实际需求的人员结构需求预测模型，实现“各专业、各机构需要多少人”的预测目的。
以优化用工策略、提升员工素质为目标，根据业务的核心程度划分对应的用工类型，明确用工总量中长期职工、农电用工、劳务派遣用工的需求数量，并进一步确定可以采取业务委托形式的用工数量，在明确长期职工需求总量的基础上分析各下级单位或各二级单位长期职工的需求数量，并对新进长期职工的学历要求、毕业院校要求和学科专业要求等进行分析，以形成新进长期职工补员的素质需求预测；根据各下级单位、各专业人员配置率、各专业与电网安全生产的关联程度、各专业的专业弹性系数和各单位区域核心地位等四方面因素设计“补员优先级指数”，明确各下级单位新进长期职工补员的优先顺序。最终建立完整的素质结构需求预测模型，实现“需要什么样的人，采取什么样的补员方式”的预测目的。
3.专业管理的指标体系
综合人力资源总量需求预测模型、人员结构需求预测模型和素质结构需求预测模型，建立能够控制用工总量、平衡用工配置、优化员工队伍、规范用工策略的人力资源需求预测模型，三者关系如图1所示。
二、专业管理的主要做法
1.专业管理工作的流程图
2.主要流程说明
（1）流程一：人力资源总量需求预测流程。
第一步：设计电网企业人力资源总量需求预测模型。具体步骤包括：首先，收集并整理数据，包括按照数据收集标准化模板收集数据、修正数据、分类汇总数据、整合数据和统一数据量级等步骤；然后，筛选指标并降维，包括相关性分析和因子分析等步骤；最后，设计模型并进行需求预测，包括设计总量需求预测主体模型和效率提升调整系数、验证模型并进行需求预测等步骤。
第二步：设计集体企业和多经企业人力资源总量需求预测模型。
第三步：合并电网企业、集体企业和多经企业的需求预测结果，形成完整的人力资源总量需求预测结果。
（2）流程二：人员结构需求预测流程。人员结构需求预测模型的设计与预测主要针对电网企业。
第一步：设计人员结构需求预测模型。具体步骤包括：首先，收集并整理数据，包括按照数据收集标准化模板收集数据、修正数据、分类汇总数据、整合数据和统一数据量级等步骤；然后，筛选指标并降维，包括相关性分析和因子分析等步骤；最后，设计模型并进行需求预测，包括设计各类用工（经营类、管理类、技术类、技能类和服务类）和技能类各专业用工需求预测模型、设计调整系数、验证模型并进行需求预测等步骤。
第二步：进行补员配置，将各年度、各专业的补员数量分配至各市州单位及下属各二级单位。
（3）流程三：素质结构需求预测流程。第一步：划分用工类型。梳理和划分企业业务及对应的用工类型，并明确“十二五”期间各年度、各用工类型的占比情况和用工数量。
第二步：结合总量需求预测模型和人员结构需求预测模型的预测结果，分析预测“十二五”期间对长期职工补员的数量要求和素质要求（包括新进人员的学历、毕业院校和专业等要求）。
第三步：分析长期职工新进人员的补员优先级。
3.确保流程正常运行的人力资源保证
一、重现“生活原型”，渗透模型思想
新课标指出：“数模的建构过程，是从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程。”可见，“日常生活”是帮助学生抽象出数学问题的源泉。将“生活原型”抽象为“数学模型”这是小学数学中渗透数学模型思想的最直观的方法。学生在日常生活中已经积累了一些关于数学模型的雏形，即“生活原型”，我们在教学时，就要引导学生将这些“生活原型”进行“数学化”，初步抽象出数学模型，使两者进行“有效链接”。
例如，“三角形两边之和大于第三边”这一特性对于学生来说比较抽象，即使是通过动手操作总结出来的，还可能只是表象的认识，不知所以然。在活动探究之前，利用多媒体再现这样一个生活情境：东东从学校出发到少年宫可以怎样走？（如下图）
生：有两条路可以走，第一条是从学校经电影院再到少年宫；第二条是从学校直接去少年宫。
师：哪条路最近呢？
生：从学校直接去少年宫这条路最近。理由是两点之间线段最短，从学校经电影院再到少年宫走的路线不是直线，构成了一个角度，两条路程相加肯定比一条直的线段要远？
师：这两种路线正好形成了一个三角形，那么三角形三条边之间有什么关系呢，相信刚才的讨论一定会带给大家新的启示，下面我们就带着这个问题一起来进行探究……
“走直线距离最短”，学生人人皆知，由这一走路的“生活问题”引出“两点之间线段最短”这一数学经验，将生活和数学进行了“有效链接”。在生活原型中，渗透了“两种路线中，走一条直线肯定比两条路线相加要短”这一模型的思想，而这两条路线正好构成了一个三角形，从而将三角形特征“两边之和一定大于第三边”进行了“对接”。这一环节，依托“生活原型”初步渗透“数学模型”，为学生接下来的探究提供建模的“支点”，渗透了建模的思想。
二、创设问题情境，抽象模型问题
三、体验活动过程，建立模型结构
如果说抽象出数学问题是建模的“起点”，那么建立模型结构便是建模的“目标”。它是对抽象出来的问题进行深入探究，并通过数学活动对问题进行概括、整理，从中寻找其普遍规律或特征，并能抽象出数学结构（数学模型），也就是第二次建模的过程。模型思想作为基本的数学思想重在体验和感悟，我们应该为学生创设开放的探究空间，让学生在活动中体验建模的过程，感悟建模的思想方法，积累基本的活动经验。
例如，在学生认识了“列”和“行”后，教师引导学生探究形成数对规范的书写格式。（多媒体课件展示几名学生的位置）
师：我们已经知道了如何确定行和列，那么图上小军的位置可以怎样表示呢？
生：第4列第3行，第3行第4列（教师板书两种情况）
（多媒体课件闪烁其他几个同学的位置，让同学记录下来，红点很快闪烁）
通过讨论认为第2列第2行可以记录为（2，2），初步引出数对的格式。学生模仿这种方法记录剩余同学的位置，出现了疑惑：小红第5列第4行，学生记录两种情况（5，4）或（4，5）。小刚第5行第4列，学生也记录了两种情况（4，5）或（5，4）。
生：（疑惑）两个不同的位置怎么可能用相同的数对来表示呢？（学生认识到在记录数对的时候要规定行和列的先后顺序）
师：为了不产生混淆，在写数对的时候，规定数对中列在前行在后。板书（列，行）
师：现在你能正确记录图上小军和明明的位置了吗？
学生记录：小军（4，3）；明明（3，5）……
教师没有直接告诉学生数对的规范格式，而是让学生经历了数对形成的过程，体验了数模的构建过程。这样的建模虽然比传统的“直接告知”要费时，但学生的认知经历了冲突―――自我否定―――认知肯定―――再冲突―――再否定―――最后达成认知平衡的过程，感悟是深刻的。从知识的形成来看，经历了问题情境―――建立模型（雏形）―――求解验证（否定）―――调整模型（成型）。这一模型的构建过程，是孩子们创造的过程，体验是快乐的。
四、解决实际问题，拓展模型外延
数学模型的建立不是最终目的，而让学生形成技能，建立思维方法，再运用模型去解决问题，让学生理解并形成数学的思维，这种数学化的思想才是根本目的。所以在建模教学中，要引导学生将数学模型还原成具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。利用模型解决实际问题便是数学模型的有效拓展。
例如，“植树中的规律”通过探究总结出了植树的三种不同类型，即“两端都种，两端都不种、只种一端”，并总结出规律：两端都种，树的棵数是间隔加一；两端都不种，树的棵数是间隔减一；只种一端，树的棵数和间隔相等。抽象出数学模型后，让学生应用模型解决实际问题。如：马路一边从头到尾一共有25盏路灯，每两盏路灯之间相距50米，这条马路一共长多少米；一根木头10米，锯了4次，平均每段长多少米；小红从底楼到家一共要爬90级台阶，每层有15个台阶，小红家住几楼。
“路灯问题、锯木头问题、爬楼梯问题”都属于“植树问题”，它们有共同的结构特征，让学生尝试这些问题的解答，引导学生在解决问题的同时，比较归纳出这些问题的共同的结构，进一步明确“间隔数”与“物体”两者的对应关系，这是对“植树问题”模型结构的拓展，扩大了模型的外延，并能培养学生举一反三、触类旁通的解决问题的能力，同时促使数学知识向现实生活的有效“回归”。
一、函数建模在一些典型中的应用
函数涉及生活和科学的各个层面，解题的方法和技巧相对多样，是初中数学教学中的难点之一，也是中考着重考查的知识点之一。而对于一些有难度的函数应用，一般可以从函数建模的角度进行考虑，把生活中的问题模型化。
（一）将问题模型化，再结合函数图像解题。
例如：某学校为迎接校庆30周年，特地定制了很多的烟花，定制的烟花的高度是55厘米，放烟花的时候要把它放置在定制好的70厘米高的架子上，灿烂的烟火从头部喷射出来，假设从各个方向都是以一样的抛物线坠地。根据学校要求，如果要烟火的高度从喷射点开始计算要达到米的话，问：如果参观校庆的学生等在烟花周围观看烟花表演，那么仅考虑烟火的距离的话，学生和老师要离开燃放点多远的距离？
如图1所示，首先建立一个函数模型：以地面为水平的X轴，而烟花所在直线为Y轴，A点为支架的最高点，以B点为烟花的最高点，用C点来表示烟火最后的落地点。可以得出烟火走出的轨迹的函数式为y=-（x-1）2+。
图1
这个函数模型确定好了之后从函数图像可以很清楚地观察到，所谓离开燃放点的距离就是以OC为半径在地上画的一个圈子。在这个函数模型建立起来之后原本复杂的问题已经简化成求OC的长度了。而在这个函数中OC的长度就是当y=0的时候x的值。学生只要将y=0带入到函数的解析式当中就能够得到答案。当y=0时，由-（x-1）2+求得两个结果米和米，因为米不符合题意，所以最终的结果就是学生和教师要离开燃放点至少米。
（二）从变量关系入手，建立函数模型解决实际问题。
在实际生活应用中，存在着很多可以用函数模型处理的有大量数量变化的应用案例。在绝大多数问题当中，虽然数量关系表面上变化无常，但其中或多或少是有规律可循的。很多数量变化是有规律的。很多变量、因变量在变化中是相互影响的。所以一些看似复杂的问题在解决的时候可以从变量关系入手，发现并建立其中蕴含的函数模型。
例如：南水北调是我国一项利国利民的大型工程，当出现地域性水资源失衡的时候，国家就可以通过这一工程进行水资源的平衡。这个时候甲城市水资源短缺，急需15万吨水资源。乙城市也水资源短缺，急需13万吨水。通过南水北调工程，分别从AB两个水资源不紧张地区抽调出14万吨水资源到甲乙两个城市，从甲城市到A城市50千米，从B城市到甲城市60千米，从B城市到乙城市45千米。请设计一个水资源运输方案，要求在调运量尽可能小的基础之上解决两个城市的水资源短缺问题。
这道题貌似变量很多，难以下手，但是经过分析我们发现，有一些数据是有规律的。如从A城市调往甲乙两个城市的水的总数一定是14万吨，从B城市调往甲乙城市的总数一定是15万吨，而从AB两城市调往甲城市的总水吨数也一定是15万吨，AB两城市调往乙城市的总水吨数也一定是13万吨。我们再次基础上假设从A城市调往甲城市的水的总吨数为x，那么可以构建以下的数据关系。
那么假设总调运量为y的话就可以根据图表得到这样的式子y=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）=5x+1275（1≤x≤14）。这是一个典型的一次函数。5为正数，所以y的值是根据x的值的变大而变大的。所以要使总运量最小，就得让x的值取最小值。所以从函数模型可以得出结论，当A地调往甲城市的水为1万吨的时候总运量是最小的。
在这样的题目解答的过程中，发现数据之间的规律是十分重要的。在解题的时候要紧抓主要的数据因素。根据数据之间的联系构建函数模型，成功构建函数模型之后，问题就迎刃而解了。
关键词 尽责性；心理幸福感；领悟社会支持；感恩；序列中介
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1 引言
与主观幸福感相比，心理幸福感更加关注幸福的本质和内涵 （姚新华，何思彤，葛鲁嘉， 2014），是评价个体身心健康的重要指标之一。大学生处于人生发展的关键期，心理幸福感的高低体现了其潜能的发挥程度和自我价值的实现程度（Ryff， 1995）。已有研究表明，尽责性是心理幸福感最为有力和持久的预测因素，尽责性与心理幸福感的自我接受、环境控制和生活目标三个维度均呈显著正相关（Keyes， Shmotkin， & Ryff， 2002）。尽责性是指个体为完成具有挑战性的目标而进行的自我管理（Bakker， Demerouti， & Lieke， 2012）。尽责个体可以对烟酒使用、日常饮食、锻炼身体等行为进行健康管理（Hampson， Goldberg， Vogt， & Dubanoski， 2007），儿童期的尽责性对其40年后成年期的寿命长短和健康水平（包括心理幸福感）具有直接预测作用（Edmonds， Cté， & Hampson， 2015）。尽责性不仅具有上述相对稳定性，还具有随情境和情感变化的波动性（李明，叶浩生，2009）。因此，只有深入揭示尽责性预测心理幸福感的内在机制，直接针对中介变量进行干预，才可以更有效地提升心理幸福感。
已有研究表明，领悟社会支持在尽责性和感恩之间可能发挥中介作用。高尽责个体倾向于将他人的任意行为解释为支持性的亲社会行为（Moran， Christensen， & Lawton，1997），这些积极情感体验的累积能诱感性社会支持，情感性社会支持的获得可以增进感恩水平（Wood， Maltby， Gillett， Linley， & Joseph， 2008）。也有研究表明，感恩在领悟社会支持和心理幸福感之间可能起中介作用。依据个体―环境交互作用的观点，个体对来自家人、朋友和重要其他人等外源性社会环境支持的领悟能力越高，越有助于个体产生积极的内源性感恩情感，高感恩个体会更多将精力集中在个人成长、良好关系等体现心理幸福感水平的重要任务上（Froh， Emmons， Card， Bono， & Wilson， 2011）。
因此，本研究通过纳入领悟社会支持和感恩变量，提出一个序列中介模型（如图1所示），试图揭示领悟社会支持和感恩两个中介变量在尽责性和心理幸福感之间关系中表现出的顺序性特征，与传统的简单或多重中介相比，序列中介更能揭示预测变量和结果变量之间关系的复杂机制，因而同时考察领悟社会支持和感恩的序列中介作用能够深入揭示尽责性预测心理幸福感的内在机制。
2 研究方法
研究对象
采用随机整群抽样方法，选取陕西省三所高校学生为研究对象，发放问卷600份，回收有效问卷538份，有效率为。其中男生337人（），女生201人（）；年龄17～22岁，平均年龄（±）岁；文科生155人（）；理工科生331人（）；艺术生52人（）；一年级156人（29%），二年级134人（），三年级141人（），四年级107人（）；大城市31人（），中小城市75人（）；小城镇93人（）；农村339人（63%）；独生子女147人（），非独生子女391人（）。
研究工具
尽责性量表
共8个项目，使用王孟成，戴晓阳和姚树桥（2011）编制的中国大五人格问卷简式版（CBF-PI-B）的尽责性分量表。采用1（很不符合）～5（很符合）5点计分，得分越高，表示个体尽责性越高。该量表在大学生中已得到应用，其内部一致性α系数为，符合测量学要求。本次研究
中该量表的
内部一致性α系数为。
领悟社会支持
共12个项目，采用Chou（2000）修订的中文版领悟社会支持多维量表。包含家人支持、朋友支持和重要其他人（老师、同学）支持3个维度。采用1（很不符合）～5（很符合）5点计分，得分越高表示领悟社会支持越多。该量表在大学生中已得到验证，其内部一致性α系数为，符合测量学要求。本次研究中该量表的内部一致性α系数为。
感恩
共16个项目，采用白媛媛（2012）编制的感恩量表，分为价值判断、自我情感、人我情感、自我回报和人我回报5个维度。采用1（很不符合）～5（很符合）5点计分，得分越高表明感恩水平越高。该量表在大学生群体中得到了验证，其内部一致性α系数为，符合测量学要求。本次研究
中该量表的
内部一致性α系数为。
心理幸福感
共33个项目，使用苗元江（2003）编制的综合幸福感问卷的心理幸福感分量表。分为自我接受、个人成长、生活目标、良好关系、环境控制和独立自主6个维度。采用1（很不符合）～5（很符合）5点计分，得分越高表示心理幸福感水平越高，问卷具有良好的信效度。量表在大学生群体中得到了验证，其内部一致性α系数为，符合测量学要求。本次研究
中该量表的内部一致性α系数为。
数据处理
采用软件对量表进行内部一致性检验、描述统计、Pearson相关分析；SPSS Process组件进行序列中介作用检验和非参数百分位Bootstrap法检验中介效应，Amos 检验模型的拟合指数。
3 结果
共同方法偏差检验
采用Harman单因子检验对全部测量项目进行探索性因子分析，结果发现，共有14个因子特征值大于1，最大因子解释变异量为，小于40%，所以本研究不存在严重的共同方法偏差，可以做进一步的数据分析。
各变量的描述统计及相关分析
如表1所示，尽责性、领悟社会支持、感恩与心理幸福感均显著正相关，尽责性、领悟社会支持与感恩显著正相关，尽责性和领悟社会支持显著正相关。
尽责性与心理幸福感的关系：序列中介效应检验
在数据分析时，除性别外，将所有变量标准化，根据SPSS Process程序中的模型6进行多元层次回归分析，该方法可以对序列中介模型进行整合性检验（Preacher & Hayes， 2008）。将年龄和性别作为控制变量，以尽责性为自变量，领悟社会支持和感恩为中介变量，心理幸福感为因变量进行分析，结果如表2所示。尽责性可以正向预测领悟社会支持（β=， t=， p
采用Bootstrap法重复抽样5000次分别计算95%的置信区间，结果表明，尽责性经过领悟社会支持对感恩的中介效应为，占总效应的，95%的置信区间为[，]；领悟社会支持经过感恩对心理幸福感的中介效应为，占总效应的，95%的置信区间为[，]；尽责性经过领悟社会支持和感恩对心理幸福感的中介效应为，占总效应的，95%的置信区间为[，]。结果表明，检验的各条路径对应的置信区间均未包含0，验证了领悟社会支持和感恩在尽责性和心理幸福感之间的序列中介作用。根据上述分析，可得到如图2所示的序列中介作用模型。采用对该序列中介模型进行检验，拟合指标为χ2/df=， GFI =， NFI =， RFI =， IFI =， CFI =， TLI =， RMSEA =，数据拟合良好，说明模型可以成立。
4 讨论
领悟社会支持在尽责性和感恩之间的中介作用
本研究发现，尽责性可以通过领悟社会支持间接预测感恩水平。根据尽责性的三侧面模型理论（李明，叶浩生，2009），尽责个体之所以能够领悟到更多社会支持，是因为尽责个体的三个侧面之间有更强的联结，尽责品质、尽责情感和尽责认知三个侧面在相互作用中联结越强，个体越能够表现出更多的尽责行为。尽责行为的出现不仅可以给他人带来更多愉快的感觉，而且也可以引导个体主动领悟到更多的社会支持。已有研究发现，个体感到在社会中被支持、被尊重和被理解的积极情绪体验可以转化为人际感恩，人际感恩可以促进个体整体感恩水平的提升（Schippers， 2014）。因此，尽责性可以通过领悟社会支持间接作用于感恩。
感恩在领悟社会支持和心理幸福感之间的中介作用
本研究表明，感恩在领悟社会支持和心理幸福感关系之间起部分中介作用。已有研究也认为领悟社会支持对心理幸福感的预测与感恩水平显著相关（Lin， 2016），也就是说，感恩源于能提供很强情感支持和物质支持的社会情景中，感恩情感体验和感恩行为能提高个体的幸福感。依据社会认知理论，这可能是因为个体在接受他人帮助后会对他人提供帮助的本质做自我认知归因（Wood， Maltby， Gillett， Linley， & Joseph， 2008），高领悟社会支持能力者倾向于对他人帮助做出更多积极的认知评价，使个体在接受帮助后会感到更加感激，感恩的认知归因可以激发更多感恩情感的产生，从而引导个体更加聚焦感恩的社会情感圈（Schippers， 2014）。感恩又是自我实现者的核心特征，自我实现者具有一而再地感激、敬畏、快乐、好奇等特征，这些特征可以进一步促进心理幸福感的提升（喻承甫，张卫，李董平，肖婕婷， 2010）。因此，领悟社会支持可以通过感恩间接作用于心理幸福感。
领悟社会支持和感恩在尽责性和心理幸福感之间的序列中介作用
本研究进一步发现，尽责性可以通过领悟社会支持和感恩的中介链间接预测心理幸福感，这一结果证实了本研究假设。即尽责性预测个体的领悟社会支持，对社会支持的自我理解和感受与个体的感恩水平的高低有关，感恩水平的高低又与个体的心理幸福感密切相关。幸福感的人格―情境交互作用模型和目标调节模型分别从不同角度为这一结果提供了解释的理论依据（Quevedo & Abella， 2011）。幸福感的人格―情境交互作用模型指出，不同人格特质可能导致个体对人际情境中的社会支持产生不同的感恩水平进而引起不同的幸福体验。因为尽责个体具有勤奋认真、负责、友善、严谨、节制等性格优势，他们往往通过勇于承担责任和积极自我归因来主观感受到更高的社会支持进而诱发高水平的感恩情感，这些内在心理资源的累积可以提升个体的心理幸福感。此外，已有研究发现，对目标的追求可以提升个体的幸福感（卢忠凤，韩明，马建妹，王萍萍， 2016）。幸福感的目标调节模型进一步认为个体目标是在文化常模的影响下形成的，生活在集体主义文化中的个体意识到对自己负责和与他人合作都很重要，个体更倾向于将尽职尽责和与团队合作设置为自己的内在目标，其心理幸福感的程度取决于个体对文化影响下所形成的内在目标的接近程度。也就是说，当个体目标仅仅是满足个人私欲时，其目标的实现通常仅会产生主观幸福感，但不一定会唤起个体对生活意义的感受。只有当个人目标与尽职尽责的亲社会行为联系起来，个体对社会支持才能有更深层次的觉知，继而激发强烈的感恩之情，感恩的积极品质能够使个人目标更接近其对高层次生活意义和价值的追求，获得更高的心理幸福感。综上，领悟社会支持和感恩在M责性和心理幸福感之间起序列中介作用，增强领悟社会支持和感恩教育是提高尽责个体心理幸福感的重要途径。
研究不足c展望
因为本研究采用的是自评法，所以对该序列中介效应的解释仍需保持谨慎，未来需要将自评和他评以及同伴评定、外显模式测评和内隐模式实验相结合，进一步验证本研究的发现。但本研究结论在一定程度上提示我们，人们可以通过培养尽责个体的领悟社会支持能力和感恩水平来提高个体的心理幸福感水平。此外，未来研究可以进一步纳入其他变量，如积极情绪、乐观、希望、自尊等来考察它们在尽责性和心理幸福感关系中的中介作用。
参考文献
白媛媛 （2012）. 大学生感恩、负性生活事件与幸福感的关系研究. 硕士学位论文. 南京师范大学.
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资料与方法
建模ProModel系统仿真软件具有操作简单，结果易懂、功能丰富等优越性，有助于解析系统结构及内部要素的活动输出，实现可行性论证分析的目的，最后为决策制定提供技术支持［12－13］。ProModel软件基本建模要素包括位置、实体、到达、处理逻辑、变量等，其仿真建模的基本流程依次为:设定的仿真目标、确定仿真范围、准确把握目标系统内部复杂逻辑关系、建立并完善模型、运行模型、输出结果及分析［13－15］。2.建模资料来源本研究基于对医保运行系统的整体了解，设置仿真运行所需位置、实体、路径及变量，构建仿真模型。研究选取黑龙江省作为样本地区，以2013年的相关数据作为支撑进行验证性分析和检验。2013年黑龙江全省人口数为3834万人，受限于学生版ProModel中某一任意位置的最大运行容量为999999，该仿真模型按照1∶40的比例，仿真黑龙江省958500人医保运行系统的真实情况，在取得较好验证性结果的基础上对变量进行调整。仿真模拟运行流程该模型中，观测变量为医保筹资总额、住院总费用、患者住院自付总费用、住院医保报销总费用、医保结余;调整变量为筹资标准、患者的不同级别医院流向比［16］、各类型医保参保人群比、起付线、封顶线、报销比。1.模型假设与设计由于医保报销系统相当复杂，系统的运行受到来自内外部的双重影响，因此，首先确定医疗卫生服务系统的起始状态，设定系统的原始输入作为初始值，并对该仿真系统进行系列假设，具体内容如下图1所示，人群在进入模型后仅存在两种状态，患病或健康;人群仅具有疾病属性及医保属性;患者在医院就诊仅且一次;患者的就诊选择为一级、二级或三级医院［17］，其它未涉及内容在模型中暂不予以考虑。本研究将此医保运行仿真模型设为四个阶段:(1)设定仿真模型中到达人群的总人数，明确人群中患者与健康人比例，充分考虑人群医保类型分布比，设计不同医保类型患者进入模型的路径;(2)通过各医保类型参保总人数及各自医保类型筹资标准确立各医保筹资总额;(3)个人在医院获得医疗服务并发生次均医疗费用，计算各医保类型人群在一级、二级、三级医院医疗总费用之和从而得出各级医院住院总费用;(4)按照各医保类型在各级医院的报销比、起付线、封顶线完成费用报销，计算其住院医保报销总费用。最后，得出各保险类型的自付费用之和为患者住院自付总费用，进而确立利用仿真建模得到的各医保类型人群在各级医院实际政策报销比。2013年不同医保制度在各级医院的报销比、起付线和封顶线，具体内容如表1。次均医疗费用低于起付线不予报销，高于封顶线按照封顶线限额进行报销，否则，按报销比例正常报销。2.模型构建首先，根据所设定的仿真目标建立人群到达、患病人群、健康人群、新农合患病人群、城镇居民患病人群、城镇职工患病人群、其他患病人群、各级医院报销等10个位置，设立模型中涉及的实体，即人、健康人、患者。收集2013年度黑龙江省相关数据资料，具体如下表2所示。结果在实际生活中，人群在医保报销体系中各种行为活动的产生都是随机的。依据仿真机理，仿真模型运行过程中，通过对已赋予某种概率分布的随机变量进行程序调用，进而产生随机数，实现模拟现实系统的随机特性。该模型运行过程中，人群在进入模型以后即遵从特定的路径分配，人群医保类型、健康人与患者比例、医院就诊流向分布均服从某一特定概率分布。模型构建完成后，以表2中相关实际数据输入模型进行仿真验证，通过ProModel仿真软件中Option选项完成模型运行时长、运行次数及统计数据的基本设置，最后选择Run选项实现模型运行。仿真共计运行十次，结果表3所示。仿真结果与真实情况进行比较，结果通过表3可以看出，仿真数据和真实数据的相对误差小于，模型验证性较好［18－19］。CharlesHarrell等学者［14］认为，基于精确数据资料的模型，如果能够准确反映真实系统，实现建模目标则认为该模型是有效的，即只有正确表达真实系统才能够认为仿真模型有效。本研究中，各医保相关要素的数据来源真实可信，同时，模型较好的反映了当前的医保报销系统运行流程，因此认为该仿真模型具有有效性。该仿真模型在医保费用报销过程中，未考虑不在医保报销目录及其他限制因素的影响，因此在疾病各级医疗费用部分，其实际的报销比相对于政策报销比低。政策制定者制定医保补偿政策是在理想政策实施环境下展开的，与政策制定者的出发点相同，仿真模型也未考虑医保报销制约因素的干扰，因此两者的仿真结果较为接近。但在真实的医保报销系统中，由于各种外界因素的干扰，相对于政策补偿水平，实际报销比会处于较低水平。
小结
关键词：小学语文；高年级；有效阅读
一、课题的实施
1.激趣导学――创设情境，激发兴趣，导学课文
“激趣”，就是激发学习兴趣，诱发学习动机，使学生感到有学习和探求的需要，心理形成最佳的学习状态。“导学”，就是引导学习，引导进入思维活动。“激趣”，要创设情境或创设悬念，如介绍课文有关历史背景，人物生平，或利用多媒体展示某一场景等。“导学”，要根据教学目标的需要，设计“导”的问题，去创造“学”的气氛，指引“学”的路子。这实际是运用情境教学法。
例如：教学《十里长街送总理》，上课伊始，先把的遗像挂于黑板前，让学生瞻仰，然后用感人肺腑的语言简介总理生前的光辉业绩和他逝世前还在为党和人民顽强工作的情况，用最平和的语调导入正课：“同学们，咱们满怀真挚而深厚的感情来读读这篇课文，看看首都人民是怎样送总理、爱总理的。好不好？”学生会带着深切怀念的真挚感情，整齐地、流利地、有节奏地读课文。读到等、望、送总理的悲痛场面，学生会语调深沉；读到总理过去检阅人民群众、迎送国际友人的场面，学生会语气激昂；那一悲一喜的语调，真揪人肺腑，催人泪下。
2.读悟究疑――读悟课文，探究疑问，培养能力
“读”，就是阅读课文；“悟”，就是感悟课文语言文字和思想内容；“究”，就是探究疑难问题。“读悟究疑”，就是引导学生独立阅读课文，感悟课文的语言文字和思想内容，用师生合作和生生合作的方式，探究疑难问题，加深对课文的理解，以培养学生的合作精神和探究能力。要实现这个目标，教师就要按照《语文课程标准》的要求，引导学生进行“探究性阅读和创造性阅读”。要进行“探究性阅读”，就要引导学生“自主学习”“自读自悟”“独立思考”“质疑问难”“敢于发表自已的不同意见”“善于合作”“乐于讨论和交流”“懂得探究的方法和步骤”“亲历探究实践体验”“善于从多层次、多角度、多方面去分析问题解决问题”；要进行“创造性阅读”，除了要运用“探究性阅读”的做法外，还要引导学生在阅读中“展开想象和联想”，想出一个合适的结论来，还要在想象和联想中不断有新的发现。
引导探究，要按照步骤进行：①让学生主动提出问题，如语言文字或思想内容等方面某些有探究价值的问题；②让学生主动寻求解决问题的方法和途径，如查阅工具书、实地观察或调查；③让学生主动参与解题实践，如多读多思、动手尝试，分析解释尝试过程。
往往是涉及到针对某个重点段落甚至整篇n文的大问题，全班师生要密切配合，人人互动，并运用上述的探究方法和途径，联系全文，抓住段中关键的词句逐段逐段进行读读、议议、讲讲，从“多层次、多角度、多方面”去讨论、探究，使学生从语言文字和思想内容的结合上对课文有个比较清晰、比较深入的领会，有个整体性的把握，并由此而使学生懂得如何探究，获取探究能力的培养。
如此探究，学生不仅深刻理解了课文，懂得了探究方法和途径，而且培养了学生发现和解决问题的能力，搜集和处理信息的能力，综合运用知识和方法的能力。
3.总结升华――总结全文，提升认识，领悟积累
“总结”，就是把学过的课文进行分析研究，通过归纳作出一个指导性的结论，便于学生掌握；“升华”，就是使“总结”后的内容更加精粹并上升到一个新的高度，便于学生加深认识，内化吸收。“总结升华”，就是引导学生在理解课文的基础上，对课文的思想内容（即“课文主要内容及其表达的思想感情”）及其表现形式（即“文章的表达方法”）来一个总结，形成一个精华，使学生对课文的思想内容能加深理解，提升认识，有一个完整而深刻的印象；对课文的表现形式，能领悟借鉴，内化积累，产生一种新的感受。换句话说，就是通过总结，揭示出一个新的读写规律，便于学生提升认识，内化积累，获取语文素养。
二、课题研究的反思
课题研究的成果证明，这一小学高年级阅读教学模式是成立的、可行的。因为这模式的三个教学环节，运用了“情境教学法”的成功经验，运用了“探究性阅读”和“总结升华”的教学方法。运用这一模式进行阅读教学，有利于促进教师教学方式的转变。使教师由教学的主宰者转变为学生学习活动的组织者和引导者，学生转变为学习的主人、主体，由被动的接受学习，转变为自主学习、合作学习、探究性学习。有利于了促进语文教学“工具性与人文性的统一”，“三维目标”的实现和“课内外联系、校内外沟通、学科间融合”的语文课程体系的构建。学生既能获得语文工具性的知识和能力，又获得情感、意志和个性等的良好品质，进而大大提高语文教学质量。可惜的是，自身素质低，不能在模式各环节中熟练地操作，发挥模式应有的优势。此外，这模式不大适应古诗词、寓言故事等内容的阅读教学。因此，还需加强学习实践，探究新的阅读教学模式。
参考文献：
[1]魏书生.魏书生谈语文教学[M].河海大学出版社.
关键词： 数感 联系 体验 表征 模型
人们在日常生活中常常要与各种各样的数打交道，这时总会有意识地将一些现象与数量建立联系，如走进一个会场，在我们面前的两个集合，一个是会场的座位，一个是出席的人。有人会自然地将这两个集合做一下比较，不用计数就可以知道这两个集合是否相等，哪个集合大一些，大到什么程度，这就是数感在起作用[1]。
数感是我们既熟悉又陌生的概念。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中关于数感的论述是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”
可见，数感强调的是一种感悟。在日常的数学教学活动中，我们不仅要让学生感悟“数是对数量的抽象”，还要让学生感悟“抽象出来的数与数量是有联系的”[2]。可见，数感是将数学与现实问题建立联系的桥梁。
那么，在日常教学中如何实现数与现实的连接，更好地发展学生的数感呢？结合多年的教学实践，我认为可以运用沟通联系、情境体验、多元表征、算法多样、建构模型等教学策略，加强对学生数感的培养。
一、沟通联系，建立数感
数学是一门抽象的学科，所有数学知识都是经过抽象得到的。例如，现实生活中不存在纯粹的点、线、三角形，它们都是从客观世界中大小不一的点、粗细不同的线、形状各异的三角形物体中提取出的“理想化”的思维产物。因此，在数学教学中，我们要善于将数学与实际背景联系起来，沟通数学与现实生活的联系。
如，人教版一年级数学上册“1―5的认识”。
教学时，首先要让学生感受到，每个数都是在数几个具体的人或物的基础上抽象出来的。如教学“1”时，要让学生数1个奶奶、1只小狗、1座房子、1串玉米等；教学“2”时，要让学生数2只鹅、2个盘子、2个筐等。学生通过数物体，亲身经历知识的形成过程，感悟到抽象出的“1”和“2”来源于客观世界，学习到的数学知识是客观事物的“理想化”的思维产物。同时还要让学生体验到数学知识从抽象回到具体的过程。如当学生认识了1―5之后，可以让学生分别拿出数量是1、2、3、4、5的小棒并用数量2、3、4、5的小棒，摆出自己喜欢的图形，然后在全班展示、交流。这样的教学，能及时将数学知识应用到实际生活中，让学生感悟到抽象出来的数与数量是有联系的。
上述教学过程，可以帮助学生完成由具体到抽象，再由抽象到具体的认知过程，实现数与现实的联系，让学生很好地建立数感。
二、情境体验，丰富数感
数学来源于生活，培养学生的数感离不开学生的生活经验。教学时，我们要从学生生活经验入手，创设与知识背景相关的生活情境，让学生在具体的实物数量或问题情境中充分感知、积极体验、主动建构，从而使学生更具体更深刻地把握数概念，更好地丰富学生的数感。
【案例1】[3]
在教学人教版二年级下册“认识1000”时，由于二年级学生的生活经历还不十分丰富，认识1000这个较大的数还是比较困难的，因此可以把认识1000作为认识大数的开始。此时可以组织一次综合与实践活动。
课前先把班级学生分为六个小组，每两个小组承担下面任务之一。
A组通过调查说明：1000是一个不大的数；
B组通过调查说明：1000是一个不小的数；
C组通过调查说明：1000是一个很大的数。
课前引导每一个小组制订调查计划，并且在课前完成调查。在综合与实践课上，让每一小组介绍调查的结果，并且发表感想。无论是制订计划还是发表感想，教师都应当加强指导。比如，学生可以制订下面的计划、发表相应的感想：
承担第一项任务的小组，可以计划：数出1000粒小米、大米或者黄豆，发现并没有想象的那么多；测量1000毫米的距离，发现1000毫米并不很长。
承担第二项任务的小组，可以计划：到超市调查1000元钱可以购买的东西，发现数量比较大、或者东西比较贵重，知道1000元钱不少；测量1000米的距离，发现1000米并不短。
承担第三项任务的小组，可以计划：从楼房的高度推测1000米的山有多高，发现1000米的高度很高，还可以进一步调查本省高于1000米的山峰有多少；从停车场一辆汽车所占面积推测1000辆汽车所占面积，发现占地面积相当大。
在学生汇报的基础上，教师的总结：同样是1000这个数，用在不同的情境给人的感觉是不一样的，因此在实际生活中应当把数与数所表达的情境结合起来。
这样的实践活动，让学生在现实背景中充分感知、深刻体验到生活中的数，通过1000感悟生活中的大数，丰富了学生的数感。
三、多元表征，增强数感
当知识被从现实原型抽象出来时，就形成知识的内核，同时也就失去了知识形成过程的火热活动。如何对知识进行深刻的理解，即赋予意义，只有将其纳入学习者的认知结构中才能实现，这个过程的消化吸收，离不开对知识的多元表征。教学中，要尽量引导学生对知识进行多元表征，形成自己独特的理解，进行个性化的知识建构，才能促进学生对知识实质的思考。
如，教学人教版一年级上册“比大小”时，当学生在“谁能通过摆一摆、排一排，让别人一下子就能看清楚猴子分别和三种水果的多少情况？”这一问题的启发下，摆出有序的象形统计图时（如图1），教师应及时启发学生用不同形式表征比较的结果：首先可以用文字表征比大小的结果（如图2），这样能够沟通文字与图形之间的关系；接着可以用符号表征比大小的结果（如图3），这样能够沟通符号与文字、图形之间的关系。
图1 象形统计图
图2 文字表征
图3 符号表征
通过对“比较结果”的多元表征，促使学生更全面深刻地把握住“比大小”的实质，增强了数感。
再如，人教版三年级上册“几分之一”。教学时，可以先按教材创设的情景，在4次平均分物活动过程中，依次画出图示，再分别给出分数1/2、1/4、1/3、1/5的“符号”；接着再让学生进行实践活动：拿一张正方形的纸折一折，表示它的1/4。反观这一教学过程，可以发现执教者能充分考虑操作、图形、符号等表征方式的关系，并注重它们之间的转换，既帮助学生读懂操作过程和图示，会用符号表示；又能根据符号，用操作活动和图示进行解释。
学生通过不同的方式表征同一概念的能力，即表征转换能力，代表学生对概念的理解水平。教学时，教师要积极引导学生，通过多种表征方式，建构个性化的知识，提升思维品质，增强数感。
四、算法多样，培养数感
在解决问题的过程中，由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的。教学时，教师要尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡算法多样化。
如，教学一年级上册“8+9”例题时，可以先出示8+9，放手让学生独立计算，然后汇报交流、展示多种不同的计算方法（三种不同的计算方法：把8凑成10；把9凑成10；根据9+8=17，想出8+9=17的算法）。通过同学之间的交流互动，让学生了解计算的多种方法，实现知识的自主建构，培养了学生的数感。
又如，在解决“星光小学有25个同学到游乐场游玩，游乐场里每架空中飞机最多可乘坐4人，他们想同时乘坐空中飞机，至少需要乘坐几架空中飞机？怎样乘坐合理？”这一现实生活问题时，因为学生已经具有乘坐空中飞机的生活经验，所以在解答本题时，学生并不是简单地计算25/4=6……1，而是能够主动结合问题的实际背景，深刻地领悟到商6和余下的1的具体含义，即6表示6架空中飞机，1表示如果6架空中飞机都坐满4个人，还剩1个人也需要一架空中飞机，因此需要7架空中飞机才可以。同时在面对这个实际问题时，这只是一种解决问题的方法，还可以有4架乘坐4人，3架乘坐3人；或5架乘坐4人，1架乘坐3人，1架乘坐2人等解决方法。像这样，学生在解决实际问题的过程中，能结合具体的问题情境选择恰当的算法，切实了解计算的意义和如何运用计算的结果，很好地培养了数感。
五、建构模型，发展数感
《义务教育数学课程标准（2011年版）》特别重视培养学生的“四能”，即“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。要使学生学会从现实情境中提出问题，从一个复杂的情景中提出问题，找出数学模型，需要具备一定的数感，需要学生在遇到具体问题时，能自觉主动地与一定的数学知识建立联系，这样才有可能建构与具体事物相联系的数学模型。
如，学习了“比和比例”的知识后，张老师在一个晴天的上午第四节课将全班学生带到操场上，指着高高的旗杆问学生：“谁能知道我们学校旗杆的高度？”这是一个实际问题，如果学生不能自觉地将问题与学过的解比例的知识建立联系，建构与实际问题相联系的数学模型，就无法顺利地解决问题。此时，有的学生猜测旗杆高度可能有10米、15米、20米；有的学生认为可以爬上旗杆的顶部，从顶部垂下绳子进行测量；有的学生认为干脆把旗杆放倒后再测量……更多的同学摇摇头，表示无从下手。这时，张老师把早已准备好的一根2米长的竹竿笔直地立在操场上，地上立即出现竹竿的影子，然后启发大家观察竹竿的长与影子的长有什么关系？同学们开始议论纷纷，有的同学立即联想到刚学过的“比和比例”的知识，很快就找到解决问题的方法。
将实际问题先转化为数学问题，再联想数学模型解决，让学生学会“数学地”思考问题，把数感的建立与数量关系的理解及数学模型结合起来，长期坚持这样教学，必定能发展学生的数感，提升学生的整体数学素养。
综上所述，数感的培养有利于沟通数学与现实生活的联系，有利于学生数学地理解和解释现实问题，有利于学生提出问题和解决问题能力的提高。当然，学生数感的建立不是一蹴而就的，而是在学习过程中逐步体验和建立起来的。因此，我们在日常教学过程中，要紧密结合教材，灵活运用沟通联系、情境体验、多元表征、算法多样、建构模型等教学策略，加强对学生数感的培养，让数感的培养真正落实到日常教学活动中。
参考文献：
[1][美]T.丹尼克.数――科学的语言[M].北京：商务印书馆，1985.
本文结合史宁中教授提出的抽象深度三层次之说，充分挖掘教材编写意图，结合小学数学人教版第一学段的教学实践具体阐述了抽象思想从初感悟到再感悟到最后领悟的全过程.
【关键词】 数量关系；抽象思想；渗透；分析
《课程标准（2011版）》指出：“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等. ”其中最基本的数学思想是抽象、推理、模型. 在义务教育阶段应结合具体的教学内容逐步渗透数学的基本思想.
数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工，提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程. 用任何数学知识解决纯数学问题或联系实际问题都需要计算、推理、构建模型，都离不开抽象. 关于抽象思想，史宁中教授认为就抽象的深度而言，大体可以分为三个层次：一是把握事物的本质，把复杂的问题简单化、条理化，能够清晰地表达，称为简约阶段；二是去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物，称为符号阶段；三是通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物，称为普适阶段. 在提倡情境教学的数学课堂上，创设情境，而后抽象成数学模型并进行解释与应用恰恰符合史教授所提的抽象的第二和第三层次，那抽象的第一层次――简约阶段在哪里体现呢？本人结合“单价、数量和总价”这一数量关系的形成过程谈谈我的看法.
一、渗透数量关系，抽象思想初感悟
一个数学思想的形成需要经历一个从模糊到清晰，从理解到应用的长期发展过程，需要在不同数学内容的教学中通过提炼、总结、理解、应用等循环往复的过程逐步形成，学生只有经历这样的过程，才能逐步“悟”出数学知识、技能中蕴含的数学思想.
如：在教学二年级上册第78页例3用乘法解决问题时，在“怎样解答”环节让学生用画图表征“几个几”，强调用乘法的意义选择乘法运算解决问题后， “解答正确吗？”这个环节借用小精灵的话对数学关系进行总结和概括“求3个文具盒的总钱数，可以用1个文具盒的价钱乘买的个数”，让学生初步感悟“单价 × 数量 = 总价”这一数量关系. 接着在解决“想一想：买7块橡皮，一共多少钱？”这个问题时，同样是“解答正确吗？”这个环节让学生尝试说说“求7块橡皮的总钱数，可以用1块橡皮的价钱乘买的块数”进行巩固. 然后，在“你还能提出其他用乘法解决的问题并解答吗？”这个环节中鼓励学生仿照例题说想法. 最后课堂小结时老师根据一系列的购物活动让学生明确：求物品的总钱数，可以用1个物品的价钱乘买的个数. 通过以上三个层次的教学，在学生深化理解乘法意义的同时，把一系列看似复杂的购物活动简单化、条理化，并教会学生用一句话清晰表达解题方法，初步感悟抽象思想.
又如教学二年级下册第42页例3用除法解决问题，在“解答正确吗？”环节让学生说出检验的方法时，根据以往积累的经验，学生很自然就说出“用56元除以一个地球仪8元，算出买了7个地球仪”这句话，渗透 “总价 ÷ 单价 = 数量”这一数量关系. 在“想一想”环节，解决“24元买了6辆汽车，一辆汽车多少钱？”在“解答正确吗”这个环节用同样用一句话说出解题的方法，渗透“总价 ÷ 数量 = 单价”这一数量关系. 当然，在渗透数量关系时切记要把握好“度”，二年级的教学只要求学生能结合具体情境多次体验、感悟、积累“乘法模型”和“除法模型”的典型实例，初步感悟抽象思想，并不需要进行高度的抽象概括，所以数量、单价和总价这些名词不宜在这里出现.
二、分析数量关系，抽象思想再感悟
数学知识和数学思想是紧密联系的，数学知识的发生、发展过程，也是数学思想发生和凸显的过程，抽象思想也不例外. 例如：教学三年级上册第71例8用乘除两步计算解决含有“归一”数量关系的实际问题，在“分析与解答”环节，通过小精灵和学生的对话提示思考的步骤，分析数量关系，用一句话“3个碗18元，用除法能求出1个碗的价钱”清晰表达了解题方法，渗透“总价÷数量=单价”；接着同样用一句话“要买8个这样的碗需要多少钱，就是求是8个这样的价钱相加的和，用乘法计算”归纳解决方法，渗透“单价×数量=总价”. 同册教材第72页例9用乘除两步计算解决含有“归总”数量关系的实际问题时以同样的方法引导学生分析数量关系解决问题.
例8和例9的教学是在学生掌握了“乘法模型”和“除法模型”，对“单价、数量和总价”这一数量关系有了一定的认识和感悟的基础上进行的教学，所以在学生学习用“乘除两步解决问题”这个知识，分析“归一”“归总”题型的数量关系的同时，实现了抽象思想的再感悟. 教材除了用例题以“问题解决”形式让学生在巩固乘除法意义的学习中逐步感悟“单价、数量和总价”这一数量关系外，还在三年级上下册的一些练习中不断出现这一数量关系的习题，让学生积累丰富的解题经验，为数量关系的提炼打下基础.
三、提炼数量关系，领悟抽象思想
抽象思想需要学生通过不断重复、不断深入思考，才能逐步“领悟”. 四年级上册第52页例4，“单价、数量和总价”的数量关系正式出现，宣告了史宁中教授指出的抽象思想三个层次中的第一阶段――简约阶段结束，正式进入第二层次――符号阶段.
教材以下面一组题目呈现：
（1）篮球每个80元，买了3个要多少钱？
（2）鱼每千克10元，买4千克要多少钱？
由于学生在前面的学习中已经积累了丰富的经验，所以很容易就能解决问题，接着通过学生的对话提出“这两个问题有什么共同点”，引导学生从两个问题的相关性入手，归纳出两个问题的共同点，进而提炼出“单价、数量和总价”三个概念，最后以小精灵的问题“你知道单价、数量与总价之间的关系吗？”放手让学生用简洁的语言归纳数量关系：单价 × 数量 = 总价. 这之后的一系列的学习活动无非就是让学生充分巩固这一数量关系，并通过各种练习提炼出另外的两个数量关系式“总价 ÷ 数量 = 单价”和“总价 ÷ 单价 = 数量”.
教材对于“单价 × 数量 = 总价”这个数量关系的教学经历了二年级在检验环节的初步感悟，到三年级在“分析与解答”环节的再次感悟，最后到四年级以例题形式正式提炼，可谓用心良苦. 这样的安排无疑是符合7-9岁的孩子正处于具体思维向形象思维过渡这个年龄和认知特点的.
综上所述，数学思想方法贯穿于数学知识的形成、发展和应用的过程中，作为最基本的三大数学思想之一的抽象思想也不例外，它需要教师们充分挖掘教材的编写意图，根据学生的年龄特点和认知特点，根据教材不同程度的要求在教学中不断引导，逐步渗透.
备注：本文是广州市教育科学“十二五”规划名师专项课题“小学数学问题解决能力培养实践研究”的研究成果（课题编号：1201440720）.
【参考文献】
[1]王光明，范文贵主编.新版课程标准解析与教学指导//小学数学[S].北京：北京师范大学出版社，.
关键词： 数学建模 教学方法 思考与总结
1.引言
数学建模就是建立数学模型来解决实际问题，通过对实际问题进行合理的抽象、假设和简化，从而利用其中“规律”建立变量、参数之间的数学模型，并求解模型，最后用所求的结果去解释、检验及指导实际问题。它涉及工业、农业、政治、经济、社会等多方面的问题，也涉及数学、计算机等广泛的多学科知识。数学建模的本质决定了它是一种创造性的活动。
2.主要的教学方法及其实施
我结合多年的数学建模授课经验，总结出在课程的讲述过程中主要应从以下几个方面入手。
建模需要丰富的知识，大而全、一蹴而就的想法是不现实的。在教学中应该针对特定的情境铺设问题，注重身边实例的运用，例如传染病的传播、预测与控制，减肥的数学模型，人在雨中行走，速度和淋雨量的关系，大学毕业生选择单位的问题，以及股票的收益与风险问题，等等，这能在很大程度上让学生拉近自己的所学与现实需要之间的距离，感受到数学知识的真实性，容易引起学生主观上的求知欲望，启发学生，充分调动他们的积极性，发挥他们的潜能。引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩论，积极寻找解决问题的各种方案，这样既能融会贯通各知识点间的联系，又能提高学生的探究思维能力，同时使得他们充分认识到数学的重要作用，在以后的工作学习中，自觉主动地利用数学工具解决实际问题。
数学建模课教学也可以引导学生深入社会，通过调查、收集数据资料，对实际生活进行观察和研究，转化为相应的数学问题。学生在实践中发现问题，并运用所学的数学知识独立地去解决，就是在实践中学习。同时，实际问题不单纯是一个数学问题，往往涉及到多学科的知识，这就促使学生把各门课程学习的知识融会贯通，根据需要查阅资料，围绕问题收集信息，不断对问题进行深入了解，进而提出解决方案。随着旧疑问的解决，进入到知识的更深层面，从而感觉到原有模型的不足，形成新的问题，经过这个过程的多次循环反复，直到所建立的模型能够很好地解决实际问题，使得学生在实践中对数学知识再认识，从而在实践中进一步培养创新能力。
（2）从数学建模的本质入手。数学建模本质上就是一种探究性的活动，它伴随着现实问题的产生而产生，也随着问题的解决而一直向前发展着，在旧问题解决的同时又有新的需要探究的东西出现。建模课程的教学，应精心设计问题，再现数学模型形成过程，进而让学生亲自动手寻找实际问题并自行构造数学模型进行解决；让学生成为发现问题、分析问题和解决问题的主人；让学生体验到使用不同的数学思想、方法得出的不同结果，了解到数学知识的应用价值，体会到成功的乐趣。数学建模解决的都是现实生活中的实际问题，采用合理的数学方法进行问题抽象并给予适当的简化，得到解决该类问题的一个或数个解决方案。数学建模的教学，主要内容之一就是让学生抛弃数学一定是有标准答案、统一方法的观念，强调所求问题不是只有唯一的方法，也没有现成的答案，要求学生将该问题用数学语言表达出来，成为一个数学问题，继而提出基本的假设条件，建立起反映或近似反映该问题数量关系的数学模型，并通过寻求适当的数学、计算机工具使问题获得解决或近似解决。同时，还要对所建立的数学模型优缺点的评价或改进、解的稳定性、问题的推广及可能存在的其它途径等方面均加以讨论，求得问题的解决。这能够使学生完整地体验到数学知识究竟是如何在解决实际问题中发挥作用的，认识到解决一个实际问题的全部过程和步骤要求。这势必激发学生去积极地动手、动脑，使学生具有足够的创造空间，利用所学的各学科知识、方法和技能，选择合适的思路和方法，充分发挥自己的创造性，促使学生的思维活动得到充分发挥，创造性思维和创新意识得到较大提高。
（3）对数学建模的授课形式进行总结。数学建模是一个团队协作的过程，形式通常由3人组成一个小组共同完成一项数学实践，在一定程度上对培养学生交流探讨、团结协作的精神是有好处的。在教学中，应该注重以实际案例的解决导入数学知识，训练学生的团队协作能力，以小组为单位，共同讨论、研究和问题，使学生掌握综合利用数学知识和计算机技术解决实际问题的本领，培养其建模能力和文章写作和语言表达能力、团结协作能力等。小组成员的知识结构、思维方式、性格特点等构成了团队的总体实力，为发挥团队的最大效用，小组成员需要通力合作，合理分工。良好的工作团队既能营造愉快的工作氛围，又能提高工作效率，更有助于创新思维的启发。因而队员之间团结协作、分工明确，才能快速、高效地完成实践任务。
3.结语
数学建模的教学过程是一个艰苦的探索过程。在这个过程中，需要对所述问题进行反复多次的研究分析、抽象简化，建立并求解符合实际需要的数学模型，之后还需要进行数据搜集和整理、构造图像，甚至还有大量的计算，利用编程或软件进行反复的模拟，对所做的数学模型作多方面的讨论或完善，每一步必须是一步一步扎实细致的工作。数学建模的学习和操作，可以培养学生细致观察、善于思考、不畏艰难、讲究条理的科学态度，培养学生经得起失败、挫折和打击的心理，以及锲而不舍的探索精神。
参考文献：
［1］袁红.试析影响学生数学建模数学化过程的若干因素.上海师范大学学报（基础教育版），2009，（1）：113-119.
［2］杨秀芹，马晓平.树立数学建模意识与培养问题解决能力.教学与管理，2008，（9）：130-131.
［3］耿秀荣.数学建模的素质要求及其对学生素质拓展的启示.教育探索，2008，（8）：30-31.
［4］陈笑缘.谈数学建模活动与学生素质的培养.吉林工程技术师范学院学报，2008，（24）：54-55.
［5］邓义华，陈芳.探析数学建模在应用型人才培养中的作用.中国电力教育，2008，（9）：91-92.
［6］张桦.探析数学建模对人才的培养［J］.教育与职业，2007，（14）：116-117.
关键词：协方差分析；偏最小二乘；结构方程模型；综合评价
一、 引言
近年来，综合评价方法有了更多的发展。更为复杂的统计模型被引入到综合评价领域，其中，结构方程模型就是最近几年经常被用于综合评价的新方法之一。结构方程模型是潜变量模型与路径分析模型的结合，可以分析不能被直接观测的潜在概念间的关系，因而在社会学、心理学、教育学、市场研究等学科中有着独特优势。从参数估计的角度分，有两种类型，一种基于方差-协方差分析（CB-SEM），另一种基于偏最小二乘（PLSPM）。通过查阅近几年的文献发现，两类方法的综合评价研究都有不少成果。例如，前者的文献涉及的领域有：医学（刘享辉等，2009；刘岭等，2009），教育（周平红等，2011；王理峰，2012），管理（任等，2007；谷晓燕，2009），经济发展（高文杰和高旭，2010；张瑛和王惠文，2008），竞争力评价（易丽蓉，2006；罗玉波和王玉翠，2013）等等。后者涉及的领域有：医学（杨威和张拓红，2012），教育（孙继红等，2010），管理（莫一魁和沈旅欧，2009；鲜思东和彭作祥，2011；林盛，刘金兰和韩文秀，2005；关子明等2009，区晶莹等，2011），经济发展（阮敬和纪宏，2006）等等。可见，两类方法在综合评价应用的领域有很多交叉。并且，从目前的研究成果可以看出，两类方法进行综合评价的方式也基本类似，都通过设计指标体系，建立理论模型，然后计算综合指数得分实现综合评价。但是，从统计学方法论角度而言，这两类方法的除了目标都是路径模型之外，没有任何内容上的交叉（吴喜之，2013），因此模型的实质和解释都有很大差异。为此笔者认为，在综合评价实践中，两类方法不能用相似的方式应用，但是如何区分对待？目前为止，鲜有文献对此问题做出明确回答。本文将围绕该问题，结合结构方程模型理论要点和综合评价要求，分析如何正确使用这两类结构方程模型进行综合评价，并给出建议。
二、 两类结构方程模型的理论要点
虽然两类结构方程模型在理论上有差别，但是在实际建模中，都需要事先设计指标体系，设定理论模型，才能进行估计。指标体系和理论模型的设定由实际问题的理论背景支撑，模型的估计有现成的软件，例如CB-SEM的常用软件有AMOS，而PLSPM则有smartPLS等，因此，应用这两类方法正确与否的关键在于对模型估计的理解。为此我们分析两类结构方程模型参数估计的理论要点。
1. CB-SEM的参数估计。CB-SEM由结构模型和测量模型组成，分别刻画潜变量与潜变量之间的关系，潜变量与可测变量之间的关系。建模时，需要对可测变量划分为不同的组，每组对应一个潜变量，并且设定好潜变量与可测变量以及潜变量与潜变量之间的关系。关于模型的表达式参见易丹辉（2008）。关于模型的参数估计，有很多种方法，在实际应用中常见的估计方法为似然方法，其拟合函数为：
FML=ln|？撞（？兹）|+tr（S？撞-1（？兹））-ln|S|-（p+q）
这里的p和q分别为内生可测变量和外生可测变量的个数。还有一些其他方法，如未加权最小二乘，拟合函数为：
FULS=■tr[（S-？撞（？兹））2]
以及使得拟合函数
FGLS=■tr{[（S-？撞（？兹））W-1]2}
最小的广义最小二乘方法。此外，还有利用工具变量的两步最小二乘等。其中，S为总体协方差矩阵，用样本协方差矩阵代替。？撞（？兹）为模型预测值的协方差矩阵，含有未知参数？兹，这些方法最终都可以归结为？撞（？兹）与S尽可能接近的原理，即协方差矩阵的重复问题。如果模型是正确的，协方差矩阵就可以被准确地重复出来，这是CB-SEM参数估计的出发点和核心。
我们指出两点需要注意的地方：
（1）由模型产生的协方差矩阵？撞（？兹）重复的是总体协方差矩阵S，但是在实际应用中，总体协方差矩阵不可能知道，为此实际中的S是样本协方差矩阵。这就导致了代替的合理性问题，即样本协方差矩阵能在多大程度上反映总体协方差矩阵呢？这个问题很难回答，但是如果样本量不够的话，代表性一定不好。这就要求在实际中使用大样本，使得样本协方差矩阵能够更好地刻画总体协方差矩阵。
（2）可测变量的总体协方差矩阵刻画了各变量间的相关关系，因此，？撞（？兹）对总体协方差矩阵的重复本质上是用总体协方差矩阵去考察模型所设定的不同组可测变量间关系的合理性，如果参数通过显著性检验和合理性检验，就认为模型设定的关系得到了总体信息的验证。这意味着CB-SEM首先是一种验证性的方法，验证的是模型设定的结构。本质上是各可测变量间的相关关系。为此需要注意，CB-SEM只是刻画了不同组可测变量间的相关结构，并通过潜变量具体表达。至于各组可测变量能在多大程度上被对应的潜变量刻画，该方法并不能回答。
2. PLSPM的参数估计。相比CB-SEM，PLSPM完全是另外一套逻辑，为了分析其特点，我们通过分析其参数估计过程入手。PLSPM的参数估计由迭代算法完成，分为两个部分，第一部分是利用一系列最小二乘和加权运算进行迭代，得到潜变量的估计值，第二部分利用第一部分的结果得到路径模型中的载荷系数和路径系数。这两部分中，第一部分是核心。
具体而言，首先要分划好可测变量的归属，一个潜变量对应一组可测变量。假设有Q个潜变量？孜1，…，？孜Q，第j个潜变量对应的可测变量为Xj=（xj1，…，xjpj）′，j=1，…，Q。则有xjh=？姿jh？孜j+？着jh（h=1，2，…，pj）或者？孜j=？撞pjh=1wjhxjh+？着j，前者为反映型（Reflective），系数为载荷；后者为反映型（Formative），系数为权重，选择何种形式需要根据实际问题决定，这种反映可测变量与潜变量关系的模型为测量模型。其次要设定好潜变量与潜变量之间的关系结构，即？孜i=？撞j≠i？茁ij？孜j+vij。这部分模型称为结构模型，模型中的系数为路径系数。潜变量的得分（即潜变量的估计值）是进行综合评价的关键，对其估计通过迭代实现。由三大步骤组成：
外部逼近：
Yj∝■wjhxjh
Yj是？孜j的外部逼近估计量，∝表示左边是右边的标准化，Wj=（wj1，…，wjpj）′是外部权重。
内部逼近：
Zj∝■ejiYi
其中，i：i？圮j表示与第j个潜变量直接有关的潜变量的下标。eji是内部权重，有三种不同的形式（Tenenhaus M 2005）。
更新权重：
内部权重由潜变量间的结构决定，迭代过程中需要更新的是外部权重，当测量模型为反映型时，对于xjh，其新权重为以Zj为自变量，xjh为因变量的一元线性回归系数，但由于Zj被标准化，因此有wjh=cov（xjh，Zj）
当测量模型为构成型时，新的权重以Zj为因变量，与之对应的可测变量xjh为自变量的多元线性回归的回归系数，即
Wj=（Xj′Xj）-1Xj′Zj
上述步骤反复迭代，直到权重变化不大，就认为收敛，得到最终的权重估计值，潜变量的得分就是可测变量的加权平均值。
通过上述对迭代过程的描述，我们也得到两点关于PLSPM的认识：
（1）在PLSPM框架下，没有涉及总体协方差矩阵。迭代过程完全基于样本信息展开。事实上，Dijkstra. T（1983）证明，PLSPM的迭代本质上是不动点的迭代算法，具体为：
反映型：Wj∝？撞i：j？圮ieji・SjiWi，其中Wj′SjjWj=1；
构成型：Wj∝S-1jj？撞i：j？圮ieji・SjiWi，其中Wj′SjjWj=1
其中，Sji为第j组可测变量与第i组可测变量的样本协方差矩阵，Sjj是第j组可测变量的样本方差矩阵。
因此，PLSPM挖掘的是样本信息，对样本量的要求没有CB-SEM高。
（2）PLSPM的迭代过程本质上通过一系列的最小二乘（OLS）实现，因此不必假定分布。另外，PLSPM的迭代事实上是不断逼近某个潜变量估计值的过程。每次迭代都适用最小二乘，追求潜变量与可测变量间的距离最小化。因此是寻找最能刻画可测变量的潜变量的过程。而不是CB-SEM那样验证可测变量间相关关系的过程。这意味着两种方法的目的很不一样。
三、 综合评价中实践中的问题和评述
将结构方程模型引入综合评价领域的优势已经被很多学者认同，这是因为，在综合评价实践中很多方法都面临一个共同的问题：很多方法没有考虑到指标变量之间的相关关系，因此，当所选择的指标变量集合中存在严重的多重相关性时，很可能会夸大系统中某些特征的作用，从而得到不合理的评估结论。王惠文和付凌晖（2004），张瑛和王惠文（2008）都认为结构方程模型可以解决这样的问题。但是目前很多研究都利用结构方程模型构建综合指数实现综合评价，将两种理论上存在差异的方法以类似的方式进行综合评价，笔者认为需要推敲其合理性。为此我们提出：CB-SEM和PLSPM是否都可以通过构建综合指数实现综合评价？
下面回答这个问题。我们有以下结论：
1. CB-SEM不能用于构建综合指数。
首先我们要明确综合评价的要义，苏为华（2005）指出，综合评价需要将多个因素和指标综合起来，因此，综合方法构成了评价的基本模型。为此，利用综合指数进行综合评价时，对指数的基本要求是能够概括多个指标各方面的信息。
当利用结构方程模型构建综合指数时，这个要求就变成：首先，每个潜变量是否在某种准则下对其对应的可测变量进行了概括。其次，这些潜变量是否反映了各组可测变量的多重相关性。对于CB-SEM而言，其参数估计方法决定了该方法构建的综合指数只能反映各组可测指标的多重相关性。这是因为其参数估计依据的优化准则本质上都是使得由模型得到协方差矩阵逼近总体协方差矩阵。如果模型是正确的，那么总体协方差矩阵就能被准确地重复出来（易丹辉，2008），所以，模型正确是指正确反映了各组可测变量的协方差结构，即它们的多重相关性。但是每组可测变量对应的潜变量是否将可测变量的信息进行了充分的概括，我们是不知道的。利用这样的潜变量得分作为综合指数不能反映真实情况。事实上，在实际应用中，利用CB-SEM分析数据时，我们只需要知道一个样本协方差矩阵就可以利用软件估计。言下之意，我们不用去关心可测指标如何取值，量纲如何等综合评价中关键的问题，只要协方差矩阵相同，即使具体指标完全不同也可以得到相同的估计结果，这个事实反过来说明CB-SEM构建综合指数是值得商榷的。
2. PLSPM可以构建综合指数。与CB-SEM不同，PLSPM的参数估计是从潜变量在平方损失角度下概括可测变量的角度出发的，其迭代过程由最小二乘和加权运算构成，本质上是在xjh=？姿jh？孜j+？着jh（h=1，2，…，pj）或者？孜j=？撞pjh=1wjhxjh+？着j中，使得？撞j？撞hE（？着2jh）最小或者？撞jE（？着2j）最小，且结合各潜变量之间的关系不断迭代实现的参数估计。为此，利用PLSPM得到的潜变量得分是在平方损失意义下对各组可测变量的概括，符合构建综合指数的基本要求。相对CB-SEM，PLSPM更适合构建综合指数进行综合评价。但是需要注意的是，PLSPM的最小化准则是最小化平方损失，虽然在统计学中，这是一种十分常用的方法。例如线性回归模型、主成分分析、因子分析等都是如此，但是是否适用于综合评价需要根据实际问题。关于这个问题的讨论是多元统计方法应用于综合评价的共同问题，苏为华（2000）曾详细讨论。
3. 两类方法适用性评述。前面已经支出，CB-SEM不适合构建综合指数，但是不意味着这个方法在综合评价时就一无是处。通过分析其参数估计的实质，我们认为，CB-SEM适合考察多组可测指标间的多重相关性。如果只是通过相关系数，只能很粗略地知道多个可测变量之间的相关结构。但是通过CB-SEM可以更细致地考察多个可测指标间的复杂结构关系。PLSPM可以用来构建综合指数，但其参数估计方法决定了其不能像CB-SEM那样从整体上对所有可测指标的相关结构进行考察，为此有学者认为，两种方法是互补的（邱皓政，2011）。笔者认为，这种相辅相成性是由于两种方法处理的问题本质上是不一样的，实际应用中可以将两种方法结合起来一起使用，可能效果更好，但目前在学术界没有看到这方面的研究。
另外，前面分析也指出两类方法对于样本和分布的要求是不同的。PLSPM不需要大样本和分布假定，这被很多人认为是CB-SEM不具备的优势。笔者认为，进行综合评价从统计学角度讲是利用已有样本信息，去推测为止的信息，本质上是预测的过程。因此建议，无论用哪一种方法，都尽量使用大样本，才能得到更加可信的结果。
四、 结论和建议
本文通过分析两类结构方程模型（CB-SEM和PLSPM）的参数估计理论，明确了两种方法是两种不同的方法。结合综合评价的要求，我们有以下结论：
1. CB-SEM的参数估计过程决定了该方法不适用构建综合指数，因为其中的潜变量在多大程度上概括了对应的可测变量是不清楚的；
2. CB-SEM适用于评价多组可测指标的多重相关性，利用该方法可以得到多个可测指标间细致的相关结构的刻画；
3. 相比CB-SEM，PLSPM更适合用于构建综合指数进行综合评价。因为，这个方法是基于平方损失下最大化概括可测指标信息实现潜变量得分估计的。符合综合评价的基本要求。
4. PLSPM没有从整体上直接对多个可测指标的多重相关性进行刻画，为此从适用性上，评价多个可测指标的相关结构不如CB-SEM合适。从这个意义上讲，两种方法是互补的。
在实际进行综合评价时，我们建议，首先需要明确实际问题的侧重，如果侧重评价多重相关结构，就推荐使用CB-SEM，如果需要构建综合指数，就使用PLSPM。
参考文献：
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10. 阮敬，纪宏.基于PLS结构方程模型的中国西部地区经济发展综合评价.统计教育，2006，（8）：4-7.
11. 孙继红，杨晓江，缪榕楠.我国高等教育发展统计特征的PLS通径模型分析.数理统计与管理，2010，（2）：362-371.
基金项目：国家自然科学基金（项目号：11361019）；广西自然科学基金重点项目（项目号：2013GXNSFDA019001）。
[关键词] 渗透；数学思想；见识
使学生获得数学的基本思想是新课程标准提出的重要目标。数学教学过程不仅仅是教会学生掌握知识的过程，更重要的是让学生在学习知识的过程中获得一些基本的数学思想。我们都有这样的体会：当孩子向大人请教某个数学问题时，大人不懂或不想直接告诉孩子答案的时候，往往会对孩子说：你画画图试一下，你多举几个例子看看，你用方程试一试，你分分类找找规律……可见作为知识的数学过了一段时间后可能忘记了，但一些解决问题的数学思想方法却还深深印记在脑海中，并随时发生作用，因此，教学要注重渗透能让学生终身受益的数学思想方法。
一、在教学目标中，体现数学思想
教学目标是教学的导向，它左右和影响着课堂教学的价值走向。教学目标的制定是否恰当，直接决定着目标的达成度，也将决定一堂课的教学实效。教师在课堂教学前一定要结合教学内容，充分挖掘概念、公式、规律、性质、法则等这些“有形”的知识中所隐含的“无形”的数学思想，并将其纳入到课堂教学目标体系中，这样在教学中才会有意识地加以渗透。在制定数学思想教学目标时，一定要明确两点：一是明确某一具体的数学知识中蕴含着哪些数学思想，只有自己心中有数了，数学思想教学目标的定位才会准确。二是明确在教学过程中怎样渗透，渗透到什么程度，只有自己思路清晰了，渗透数学思想的目标才会在课堂教学中落实。
例如，在制定“工程问题”教学预案时，我们在弄清知识性教学目标的基础上，通过认真研读和分析知识载体（人教版教材的题例是：一条道路，如果一队单独修，12天能修完；如果二队单独修，18天才能修完。如果两队合修，多少天能修完？），我们可以挖掘出“从具体到抽象”“归纳”“建模”这三种数学思想，然后思考渗透的方法。可以用“举例计算”的方法来渗透“从具体到抽象”的数学思想，如72÷（72÷12+72÷18）=（小时），36÷（36÷12+36÷18）=（小时）……1÷（+）=（小时）；用“类解问题”的方法来渗透“归纳”“建模”的数学思想，当例题教学完后，让学生模仿例题的方法解决“甲车从A城到B城要行驶4小时，乙车从B城到A城要行驶5小时。两车同时分别从A城和B城出发，几小时相遇？”等问题，然后引导学生找出这些问题的共同点，最后归纳出解决该类问题的思路，形成“工程问题”解题模型。
数学思想方法总是隐含在各知识版块中，没有不包括数学思想方法的知识，也没有游离于知识之外的思想方法。作为教师，我们不仅要读懂教材所承载的知识和技能目标，更要挖掘隐藏在知识与技能背后的数学思想，并把它作为教学目标，这样才能在教学时及时加以体现，也才有可能实现学生对数学思想的感悟和运用，并使其最终形成解决问题的方法。
二、在经历过程中，感悟数学思想
数学思想是一种基于数学知识又高于数学知识的隐形知识，它比数学知识更抽象，更需要我们精心设计教学情境和教学过程，让学生在经历知识的形成过程中充分体验和感悟数学思想。解决这个问题的关键就是让学生主动参与，因为没有主动参与就不可能对数学思想方法产生体验。没了体验，数学思想方法的渗透只能是一句空话。
例如，在教学“分数乘分数”这部分内容时，为了让学生在经历其计算方法的探索过程中体验和感悟“类比”、“数形结合”、“转化”、“归纳”和“建模”等数学思想。以人教版教材为例，可以设计以下教学环节：（1）出示复习题：王伯伯家有一块10公顷的地，种土豆面积占这块地的。种土豆的面积是多少公顷？学生列式计算，回顾整数与分数相乘的计算方法。（2）出示题例：李伯伯家有一块公顷的地，种土豆的面积占这块地的。种土豆的面积是多少公顷？学生读题，理解题意，列式。（3）比较“10×”和“×”这两道算式有什么不同，猜想“×”的计算方法。（4）学生用自己的方法验证猜想。（5）教师出示几道分数乘分数的练习，让学生分组计算其中的一题，并验证自己的计算结果是否正确。（6）观察比较上述各算式的计算结果与各因数的关系，总结分数乘分数的计算方法。
在这一教学过程中，我们可以看到教师借助“分数乘分数”这一计算载体，让学生在经历“分数乘分数”计算方法的探索过程中，通过猜测、验证、比较、反思、小结等自主性学习活动，体验“类比”的数学思想。如因为“10×=×==”，所以“×”可能也可以这样计算“×==”；“数形结合”的数学思想，结合题意用图形表示出“×”的结果；“转化”的数学思想，将“×”转化成小数“×”；“归纳”和“建模”的数学思想，观察比较各算式的计算结果与因数的关系，总结出“分数乘分数”的计算方法，形成“分数乘分数”的计算模型。
这样，通过给学生提供自主体验、感悟的时空，引导学生充分经历探索计算方法的过程，让它们根据自己的体验，领悟抽象的数学思想方法的作用，久而久之就能逐步形成解决问题的一般方法。
三、在回顾反思中，巩固数学思想
数学思想蕴涵于知识体系中，但在教材中数学思想是零散的而不是系统存在于数学知识体系中，需要我们经常性地组织回顾和反思的过程，将知识中蕴含的数学思想方法和策略进行强化和提炼，形成策略意识，逐步完善和稳固学生已有的数学思想。
例如，我们在进行平行四边形的面积教学时，当学生掌握了用“割补”的方法，探索出平行四边形的面积计算方法后，接着，教师应引导学生回顾反思：“刚才同学们用不同的方法探索出平行四边形的面积，这几种方法都有什么共同的地方吗？”（都是把平行四边形变成长方形来计算）接下来，教师应进一步追问：为什么要把平行四边形的面积变成长方形的面积来计算？学生可能会说：“因为长方形的面积我们学过了，如果知道了长方形的面积，也就知道了平行四边形的面积”。这时，教师应再次通过引导，让学生感悟，在遇到不会解决的问题时，可以把它变成我们会解决的问题，这样，不会的也就会了。一个“变”字把“化新为旧”的转化思想不留痕迹地渗透到学生的心中。
通过回顾与反思，学生对探索平行四边形的面积的方法有了更深刻的认识，更重要的是学生充分感悟到了转化的数学思想，积累了“化新为旧”的解决问题的经验，逐步形成“转化”这种数学思想的稳固认识。有了这样的认识，再遇到新问题时学生就能自觉地在头脑中搜索与该问题有关的旧知识，并能灵活运用相关的旧知识帮助他们找到解决该类问题的策略与方法，从而真正促M学生的可持续发展。
四、在拓展运用中，深化数学思想
学生在学习过程中逐步形成的对数学思想的认识，还仅仅存在于思维的感知层面，而要真正将数学思想植根于学生的大脑，拓展和运用是帮助学生形成解决问题的意识和策略的有效环节。教师若能在学生依照例题示范的思路，解答与之相同类型、结构习题的基础上，引导学生主动把这种方法迁移类推到其他相关问题的解决上，不仅可以巩固和深化已学的数学知识和数学思想，而且还会提炼和归纳出新的数学思想，形成解决该类问题的方法。
例如，在学生学习了“植树问题”，感受到了植树问题的解决策略后，可再设计一些变式的问题，如在封闭的圆形水池旁摆花盆问题，锯木头问题、上楼梯问题等，让学生用“化归思想”迁移解决类似的植树问题。又如，学习了平行四边形的面积后，还可以引导学生用这种经验思考：接下去我们还要学习三角形、梯形等平面图形的面积计算公式，你觉得可以怎样学？诸如此类关于思想方法的迁移运用和拓展，有助于构建和完善学生的认识结构，进而逐步形成转化的意识，这种意识将为学生的终身发展奠定坚实的基础。
总之，对小学生进行数学思想的渗透具有长期性和反复性，需要经历一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。这就需要我们做这一过程的引导者，不断用数学思想锤炼学生的思维，让学生在一次又一次的锤炼中，不断积累，不断感悟，最终获得受益终生的数学思想，并能主动应用。
[参 考 文 献]
[1]强震球.探索数学规律 彰显数学思想[J].福建教育，2016（）.
[2]林碧珍.课堂教学境界的实践与思考[J].福建教育，2016（）.
关键词：数学素养；综合与实践；数学建模；模型思想
“模型思想”是数学的基本思想，更是数学学科的核心素养，贯穿于小学数学教学体系中。新课标四大教学领域之一的“综合与实践”，是培养学生的模型思想、应用意识和创新意识的良好载体。基于“核心素养”本位的数学课堂，在综合与实践活动中融入数学建模教学，培养模型思想，我们可以做出哪些努力，给学生带来什么样的改变？笔者就此展开了研究与思考。
一、创设问题――常备“数学”的眼光
“综合与实践”教学与模型思想的建立均以问题为载体，两者在问题的设计上有着异曲同工之处，教师在问题情境的创设中应具备“数学”的眼光。以渗透模型思想、提升数学素养为目标，选取的问题应体现以下特点：
1.趣味性
兴趣是由好奇心所产生的精神向往，是实践与探索的前提。因此，活动中所选择的问题要具有一定的吸引力。而且，问题情境中的信息应容易获取，建模所需的数学知识相对简单，学生通过努力能够顺利建模，为建立成功、自信的学习体验作好铺垫。
2.实践性
选取密切联系学生的生活经验的问题情境，更能牵动探索与思考的热情。来源于自然、社会、生活、其他学科和数学内部，学生有相关经历、能够实践的活动，都是不错的选择。
3.新颖性
最好选取学生第一次遇到的新问题，有别于常规的实际问题，为学生提供深入探索和创造的机会，在建模过程中发展思维、提升能力。
4.开放性
问题要具有一定的开放性。从条件、解决问题的过程到结论都具有开放性，体现解决问题思路和方法的多样化。通过交流与总结，触发不同层次的思考和创造性，感知同一问题建模方法与结果的多样性，形成从多种角度出发探讨问题的学习方式。
例如，人教版四年级《1亿有多大》。对照上述四个特征，问题的现实模型学生比较熟悉，获取建模信息不难，可通过同伴研讨、教师指引获得；建模时主要用到简单的测量、乘法、单位换算与数的大小比较等基本数学知识，相对简单；“1亿有多大”有别于常规的大小比较问题，是学生第一次遇到的新问题；解决方法和结论都不唯一。有质量的问题可以成为支点，撬动学生的探究欲望和思辨能力，使数学综合素养得到充分发展。在创设问题这一环节，教师能常备一双“数学”的眼光显得弥足珍贵。除了教材中提出的问题，教师要注意收集、开发研究专题，并鼓励学生捕捉身边的数学信息，自己发现和提出问题。
二、建立模型――培养“数学”的思维
用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界，是建立数学模型的重要方法。养成“数学”的思维，学生才能在获取信息之后正确、有序地形成解决问题的思路，建构数学模型，使综合与实践活动得以顺利开展。
1.用数学的思维分析世界：培养符号意识，渗透函数思想
在研究中我们发现，数学学科各项核心素养之间是相辅相成、密切相关的，在引导学生建立模型思想的同时，符号意识和函数思想的建立其实发挥着不可忽视的重要作用。在数学建模过程中，恰当地引导学生用函数建构模型，用符号语言表达模型，既是建模的需要，也是综合与实践教学的要求。因此，把培养符号意识、渗透函数思想与数学建模相结合，让学生用数学的思维参与“综合与实践”活动，是提升数学素养的有效策略。
2.用数学的语言表达现实世界：培养语言表达能力，应用几何直观
根据小学生的思维特点，基于数学建模的综合与实践教学应当充分运用几何直观，并重视交流过程中学生语言表达能力的培养，用数学的语言表达现实世界。例如，五年级下册《打电话》，通过创设学生熟悉的“打电话”情境，研究“怎样花最少的时间通知到15位队员”这个问题，建立解决问题的模型，体会策略的多样化和优化，感受数学的价值。在“每个人都不空闲”的方向引领下，几何直观图的应用帮学生找到了最优方案：
从图中学生能清楚地发现隐含的规律，并能用自己的语言说明：每一分所有接到通知的队员和老师的总数是前1分钟所有接到通知的队员和老师总数的2倍；每增加1分钟，新接到通知的队员数正好是前面所有接到通知的队员和老师的总数。学生的语言描述表明他们通过看图寻找出规律和算法，而不是根据数列规律推理，由此可知，几何直观和语言描述在数学建模中的作用举足轻重。
列表是另一种表征思维过程的数学形式，更简洁明了，有利于培养学生的符号意识及思维的有序性、全面性。通过观察表中数据，学生能够发现：到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总数是一个等比数列，就是，到第n分钟所有接到通知的队员总数就是人数。数学模型的符号化提炼，使函数思想得到有效渗透，对于学有余力的学生来说，是进一步体会推理、优化、模型等数学思想，培养抽象思维能力不可或缺的时机。
“综合与实践”本质上是一种解决问题的活动，我们希望帮助学生积累数学活动经验，培养“数学”的思维；在建立模型的过程中积累数学智慧，提升数学素养。
三、求解验证――品味“数学”的魅力
数学的魅力是什么？数学源于生活，但并不等于生活本身，它是对生活中的数量关系与空间形式的提炼；数学不仅仅是计算，在运用数学进行思维的过程中，所锻炼的不仅是思维方法，更重要的是观念的改变。笔者以为，这些在基于数学建模的综合实践课上有较好的体现。
从某种意义上来讲，模型思想就是将一个问题的解决，拓展为一类问题的解决。正如荷兰数学家弗赖登塔尔所说：“数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。”当学生建立数学模型以后，教师应该引导学生应用模型解决问题，使数学模型成为沟通实际问题与数学知识的桥梁，从而帮助学生提升数学模型的应用水平，积累模型经验，形成初步的模型思想。运用数学模型解答实际问题，不但使学生充分体会到数学模型的实际应用价值，而且进一步培养了他们应用数学的意识和综合应用数学解决问题的能力。这些活动的开展，将对学生数学素养的形成产生不可估量的推动作用，这也是“综合与实践”课的内涵及教育价值所在。
“综合与实践应用”是充满实践、探索、碰撞的过程，是学生亲自参与、生动的过程。综合实践应用与模型思想相结合，是学生形成深度学习和探索能力的重要途径。基于数学建模的“综合与实践”教学，需要教师坚持不懈、循序渐进的渗透、反思、领悟，使学生对模型思想的认识、对数学的理解从“量的积累”达到“质的飞跃”，唤醒数学意识，提升数学素养。
参考文献：
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